Laplace

laceTransformada de Laplace.
Definición:

Sea F(t) una función de t definida para t>0.
La transformada de laplace de F(t), se denota por £{F(t)}, se define como:

£{F(t)} = f(s) = 0∞e-stF(t) dt __________________________(1).
Se dice que la Transformada de Laplace de F(t) existe cuando la integral (1) converge para algún valor de s; de otra manera se dice que no existe.Notación:

Cuando se indique con mayúscula una función de t, como F(t), G(t), Y(t), etc., la Transformada de Laplace de dicha función se denotará por la correspondiente letra minúscula, es decir, f(s),g(s), y(s), etc.

Propiedades:

Para las siguientes Transformadas de Laplace, se supondrá, que todas las funciones satisfacen las condiciones necesarias para que sus transformadas de Laplaceexistan.

Trabajo # 1 (opcional): breve historia de Laplace y aplicaciones (una cuartilla cada uno)

1.- Propiedad de Linealidad:

Teorema 1.2: Si C1 y C2 son constantes de F1(t) y F2(t) sonfunciones cuyas Transformadas de Laplace son, respectivamente f1(s) y f2(s), entonces:

£{C1F1(t) + C2F2(t)} = C1£{F1(t)} + C2£{F2(t)} = C1f1(s) + C2f2(s)

Ejemplo:

£{4t2 – 3 cos 2t + 5e-t} = 4£{t2} - 3 £{cos 2t} + 5 £{e-t}: de la tabla se sustituyen los valores.
4 ( 2!s³ ) - 3 (ss²+4 ) + 5 (1s+1)
8s³ - 3ss²+4+ 5s+1 ; s> -1

2.- Primera Propiedad de Traslación.

Teorema 1.3: Si £{F(t)} = f(s), entonces £{eat F(t)} = f(s – a)

Ejemplo: Como £{cos 2t} = ss²+4 , se tiene que:

£{e-t cos2t} = s+1s+12+ 4 = s+1s²+2s+5 ; s<0

En ss²+4 , se sustituye f(s – a), es decir, En s-a(s-a)²+4 , para a= -1, entonces quedará, s-(-1)(s-(-1))²+4 s+1(s+1)²+4

3.- Segunda propiedad deTraslación:

F(t), t>a
Teorema 1.4: Si £{F(t)} = f(s), y G(t) = , entonces; £{G(t)} = e-as f(s)...