laplace

5. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
EMPLEANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INTRODUCCIÓN

En el estudio del cálculo integral hemos visto que un cambio de variable puede transformar una
integral (indefinida), aparentemente difícil de calcular, en otra que identificamos como fácil de
resolver. En tal caso se calcula la integral con la nueva variable y después se recurre al cambio devariable aplicado, pero ahora de manera inversa, para obtener la primitiva en la variable original.
La transformada de Laplace es un método que transforma un Problema con Valores Iniciales (PVI)
en una relación algebraica, a partir de la cual se obtiene una expresión para la “transformada
inversa” de la función solución del PVI, y, finalmente, se “recupera” la solución al invertir el
proceso.
Elpropósito de tratar esta temática en el presente documento, es el de describir la manera en la que
se utiliza la Transformada de Laplace para resolver un PVI que involucra una ecuación lineal, por lo
que no se verá con mayor detalle la teoría correspondiente a la Transformada de Laplace.
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Siendo f una función definida para valores no negativos de lavariable, llamaremos transformada
de Laplace de f a:


L  f    e st f  t dt

(1)

0

Ejemplo 5.1.
Vamos a utilizar la definición para calcular la transformada de Laplace de la función definida
mediante f  t   1 . Así pues, de acuerdo con la definición (1), tenemos que:


1
L  f   L 1   e st 1dt   e st
s
0



0

 1 1
 0  
 s s

Ejemplo 5.2.Ahora vamos a utilizar la definición para calcular la transformada de Laplace de la función
f  t   t . Así pues, de acuerdo con (1), e integrando por partes, tenemos ahora que:


L t   e
0

 st



t
 t dt   te dt   e st
s
0



 st




0

1  st
te dt
s
0

11 1
L t  0  0     2
ss s

Así, pues, tenemos entonces que:

1
1
L t 2
y
s
s
De la misma manera pueden obtenerse las transformadas de otras funciones básicas, las cuales se
muestran en la tabla 1.
L 1 

86

María del Carmen Hernández, Ismael Arcos. Notas de Ecuaciones Diferenciales

Tabla 1. Transformadas de algunas funciones básicas

L 1 
L t n  

1
s
L eat  

n!
, n  1, 2,3,...
s n 1

1
sa

L sen.kt 

k
s  k2L senh.kt 

k
s  k2

L cos kt 

s
s  k2

L cosh kt 

s
s  k2

2

2

2

2

Propiedades generales de la transformada de Laplace
1)
2)
Nota:

L a. f (t )  a L  f (t )
L  f (t )  g (t )  L  f (t )  L g (t )

L  f (t ) g (t ) no es igual a L  f (t ) L g (t )

Ejemplo 5.3.
a)

Para las funciones dadas, determinar L  f (t )

f (t)  t 2  6t  3

L  f (t )  L t 2   6 L t  3 L 1
2!
1!
1
 6  11  3 
s 21
s
s
2 6 3
L  f (t )  3  2 
s
s
s
L  f (t ) 

b)

f (t )  4t 2  5sen.3t

L  f (t )  4 L t 2   5 L sen.3t
2!
3
 5 2
s 2 1
s  32
8
15
L  f (t )  3  2
s
s 9
L  f (t )  4 

TRANSFORMACIÓN INVERSA Y TRANSFORMACIÓN DE DERIVADAS

Transformada inversade Laplace
Si F ( s) representa la transformada de Laplace de una función f (t ) , es decir, L  f (t )  F (s) ,
entonces f (t ) es la transformada inversa de Laplace F ( s) : f (t )  L1 F (s)
Por ejemplo:

Semestre 2011A

Solución de Ecuaciones Diferenciales con Transformada de Laplace

1 
1  L1  
s

y

87

1
t  L1  2 
s 

Nota: Al evaluartransformadas inversas, con frecuencia sucede que una función de s bajo
consideración no corresponde exactamente a la forma de una transformada de Laplace F ( s) tal
como aparece en la tabla 1. En ese caso, es necesario “ajustar” la función de s multiplicando y
dividiendo por una constante apropiada.
Ejemplo 5.4.

Obtener la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones.

a)

 s ...