Laplace

ECUACIONES DIFERENCIALES:
TRANSFORMADA DE LAPLACE


UNIDAD 3: TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1.1 Definición de la transformada de Laplace.
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde lassoluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.
Las característicasfundamentales de la transformada de Laplace son:
Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de lavariable S.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.
3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace.
Antes de enunciar el teorema de existencia de la transformada de Laplace de una función es preciso definir un concepto para el teorema deexistencia de la TL (Transformada de Laplace) de una función.
Se dice que una función f (t) es de orden exponencial α si existen constantes positivas T y M tales que


para todo valor de t ≥ T .
En otras palabras, una función es de orden exponencial α, si se puede encontrar una función exponencial adecuada MeαT que esté por en sima de la función f (t) a partir de un valor determinado para t.
Lafunción

Es de orden exponencial α = 1 ya que la función exponencial
Ya que la función exponencial (en rojo) crece más rápido que f (t) (en azul) a partir de cierto valor T








3.2 Transformada Directa de Laplace
Imaginemos un integral que sea de la forma,

Aquí es un valor muy grande y g(y) y h(y) son funciones continuamente diferenciables, donde la función g(y) tiene susmínimos locales en el punto y* dentro de un intervalo par abierto (a, b) para los cuales la función es definida.
Imagina que la densidad de Y es muy alta, entonces la integral puede ser sólo un integral o puede ser una anticipación subsecuente de la función h(y). También puede ser una función que genera el momento parala distribución de la función g(y). En caso de que el valor de sea muy grande,entonces su participación hacia esta integral fundamental instiga desde las inmediaciones alrededor del punto y *.
Las declaraciones crípticas con respecto a la integral, como se ha establecido arriba, puede ser formalmente denotada en la manera de una expresión de Taylor como la función g(y) alrededor del punto y * como,
g(y) = g(y*) + g’(y*) (y – y*) + g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …
Al hacer uso de lascondiciones iniciales establecidas anteriormente que el punto y * es el punto de mínimos locales, podemos afirmar que g’(y*) = 0 y g’’(y*) es siempre mayor que cero. Por lo tanto, reescribiendo la ecuación anterior obtenemos,
g(y) - g(y*) =g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …
Mediante la aproximación de la función h(y) linealmente en las proximidades del punto y * obtenemos,


=
La derivación anterioresla fórmula para la densidad Gaussiana teniendog’’(y*) como su densidad. La aproximación de esto es,

Esto se conoce como el método de integración de Laplace el cual es utilizado para aplicar directamente la transformada de Laplace. Para determinar la transformada de Laplace de una función dada, encuentra su producto con el núcleo de la transformación el cual es e^-st. En tal escenario, la...