Laplace

´ Indice general
1. Transformada de Laplace 1.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Transformada de Laplace de algunas funciones . . . . . . . . . . . 1.1.2. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . 1.2. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.2. M´todo de fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3. Aplicaciones de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3.2. Resoluci´n de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes cono stantes de orden n . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Resoluci´n de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coo eficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Transformada de la funci´n escal´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.4.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Problemas resueltos 12 14 14 16 1.4. Funci´n escal´n. Resoluci´nde ecuaciones con funciones continuas a trozos 13 o o o 11 2 2 3 3 8 8 9 10 10

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Cap´ ıtulo 1 Transformada de Laplace
Como ya se ha comentado anteriormente, la mayor´ de los problemas consiste en resolver ıa una ecuaci´n diferencial, obtener su soluci´n general y luego una soluci´n particular o o o mediante la aplicaci´n de condiciones de contorno o condiciones iniciales (problemas de oCauchy) a la soluci´n general obtenida. o En este cap´ ıtulo se va a estudiar un nuevo m´todo de resoluci´n de gran utilidad en e o el tratamiento de problemas de valor inicial en el origen para el caso de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: la transformada de Laplace.

1.1 Fundamentos
Definici´n 1.1 (Transformada de Laplace). Dada y(x), funci´n cont´ o o ınua en x ≥ 0 ycuyo producto con e−sx es integrable en (0, ∞) para alg´n valor de s, se define su u transformada de Laplace como:
∞

L[y(x)] = F (s) =
0

y(x)e−sx dx

Se denota F (s) = L[y(x)] La transformada inversa se representa por: y(x) = L−1 [F (s)] Nota 1.2. La expresi´n de la transformada de Laplace existe si la integral impropia es o convergente.

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1.1. Fundamentos

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1.1.1 Transformadade Laplace de algunas funciones
Vamos a aplicar la definici´n anterior para calcular la transformada de Laplace de alo gunas funciones: A. Transformada de y(x) = keax k ∈ R L[keax ] =
0 ∞ ∞ 0 ∞ 0

keax e−sx dx = k

e(a−s)x dx si a − s < 0 ⇔ s>a

k (a−s)x = e a−s B. y(x) = sen(bx) b∈R

k = s−a
∞

L[sen(bx)] =
0

sen(bx)e−sx dx

Integrando por partes: u = sen(bx), dv = e−sx dx; 1L[sen(bx)] = − e−sx sen(bx) s
∞ 0

b + s
∞

∞ 0

cos(bx)e−sx dx

Volviendo a integrar por partes y fijando s > 0: L[sen(bx)] = b 1 − e−sx cos(bx) s s −
0

b s

∞ 0

sen(bx)e−sx dx

As´ llamando I a la integral buscada tenemos: ı, I= b 1 b − I s s s ⇔ I= s2 b + b2 para s > 0

1.1.2 Propiedades de la transformada de Laplace
A. Los operadores trasformada y transformada inversa deLaplace son operadores lineales. Es decir: L[af (x) + bg(x)] = aL[f (x)] + bL[g(x)] = aF (s) + bG(s) ∀ a, b ∈ R L−1 [aF (s) + bG(s)] = aL−1 [F (s)] + bL−1 [G(s)] = af (x) + bg(x) Siendo F (s) = L[f (x)], G(s) = L[g(x)]

1.1. Fundamentos

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Demostraci´n. Para el primero de los resultados, por medio de la propia definici´n o o de transformada se tiene:
∞

L[af (x) + bg(x)] =
0

e−sx (af(x) + bg(x)) e−sx f (x)dx + b
0 ∞

∞ 0

= a

e−sx g(x)dx

= aL[f (x)] + bL[g(x)]

B. Transformada de una derivada: Dada y = y(x) derivable, se considera y (x). Entonces si existe la transformada de y (x) se enuncia el siguiente resultado L[y (x)] = sL[y(x)] − y(0) Demostraci´n. o L[y (x)] =
0 ∞

e−sx y (x)dx

integrando por partes u = e−sx dv = y (x)dx du = −se−sx dx v = y(x)...