Laplace
![af (t )] = aF ( s)
Linealidad Desplazamiento en el tiempo Teorema del valor inicial Teorema del valor final Tiempo por una función
lim f (t )= lim sF ( s )
t →0 s →∞
![ f1 (t ) + f 2 (t )] = F1 ( s) + F2 ( s ) ![ f (t − τ )u (t − τ )] = e − sτ F ( s )
lim f (t ) = lim sF ( s )
t →∞ s →0
Impulso
![δ (t )] = 1 ! e − at f (t )= F (s + a )
df (t ) ! = sF ( s ) − f (0) dt t ∫ f (t ) dt F ( s) a t =0 ! ∫ f (t ) dt = + s s a
t
− dF ( s) ![tf (t )] = ds donde F ( s ) = ![ f (t ) ] ![ f ( at)] = 1 s F a a
n
Desplazamiento de frecuencia
[
]
! t n f (t ) = (− 1)
[
]
d n F (s) ds n
Derivada
t ! f = aF (as ) a
Integral
f (t ) ! = ∫ F ( s )ds t s
∞
Pares de Transformadas de Laplace
f(t) F(s) Impulso unitario 1 Escalón unitario f(t) F(s)
1 u (t ) a at e " at sen ωt cos ωt e − at sen ωt e − at cos ωt tn t en − at
t n −1 (n − 1)! t n −1e " at (n − 1)! 1 (1 − e −at ) a 1 (at −1 + e − at ) a2 1 (e −at − e −bt ) b−a 1 (be −bt − ae −at ) b−a 1 1 1+ (be −at − ae −bt ) ab a − b shωt chωt
Rampaamortiguada
1 sn
1 s a s a s2 1 s±a
(s ± a )n
1 s(s + a ) 1 s 2 (s + a )
1
Escalón Rampa
Exponencial Seno Coseno
(s + a )(s + b ) (s + a )(s + b)
1 s(s + a )(s + b ) s
1
ωs2 + ω 2
s s2 + ω 2
Seno amortiguado Coseno amortiguado
ω (s + a )2 + ω 2
ω s −ω2
2
(s + a )2 + ω 2
n! s n +1 n!
s+a
s s2 −ω 2
2
ωn
1−ξ
n +1
e −ξω nt sen ω n 1 − ξ 2 t
2 ωn s + 2ξω n s + ω n2 2
(s + a )
− 1−
t cos ωt
1−ξ 2 e −ξω nt sen ω n 1 − ξ 2 t − arctan ξ 1−ξ 2 1 1−ξ 2 e −ξω nt sen ω n 1 − ξ 2 t + arctan ξ 1−ξ 2 1s s 2 + 2ξω n s + ω n2
2 ωn s (s + 2ξω n s + ω n2 ) 2
(s
s2 − ω 2
2
+ω s
2 2
)
t sen ωt 2ω
(s
2
+ω
2 2
)
2 K e −αt cos(βt + θ ) 2t K e −αt cos (βt + θ )
K...
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