Las Batallas Del Desierto

Aplicaciones de los circuitos RC: Diferenciadores, integradores y filtros de frecuencia
21 de mayo de 2008

1.

Objetivos
Estudio de la carga y descarga de un condensador. Construcci´n de un diferenciador y de un integrador. o Construcci´n de un filtro pasa-baja. o

2.

Material

Figura 1: Aspecto general de la pr´ctica. a

1 osciloscopio. 1 generador de funciones. 1 caja deresistencias. 1 caja de condensadores. cables

1

3.

Teor´ ıa

Carga y descarga de un condensador

R

V

C

Figura 2: Circuito RC con una fuente de potencial. Consideremos el circuito de la figura 2. En cada instante, el potencial V (t) de la fuente externa caer´ en parte en la resistencia, VR (t) = I(t)R, y en parte en el condensador, VC (t). a Por otra parte, la carga acumulada en elcondensador es Q(t) = CVC (t), siendo C su capacidad. As´ pues, ı V (t) = VC (t) + VR (t) = VC (t) + I(t)R = VC (t) + dVC (t) dQ(t) R = VC (t) + RC . dt dt (1)

Si V (t) = V es un potencial constante, es f´cil comprobar por sustituci´n que la soluci´n de esta a o o ecuaci´n diferencial es o VC (t) = V + (VC (t0 ) − V )e−(t−t0 )/RC . (2) Si R se expresa en ohmios y C en faradios, el producto RC seexpresa en segundos y se llama constante de tiempos del circuito. Si en el instante t = t0 cambiamos repentinamente el valor de V , entonces VC (t) decae exponencialmente desde su valor inicial VC (t0 ) hacia ese nuevo valor V , en un tiempo t − t0 ≈ RC, de modo que VC (t) → V cuando t → ∞.

Diferenciadores
Consideremos de nuevo el circuito de la figura 2, pero suponiendo ahora que V (t) no esconstante. Puesto que V (t) = VR (t) + VC (t) =⇒ VC (t) = V (t) − VR (t), se cumple tambi´n que e VR (t) = I(t)R = dVC (t) d(V (t) − VR (t)) dV (t) dVR (t) dQ(t) R = RC = RC = RC − RC . (3) dt dt dt dt dt

Si V (t) var´ lentamente (con un periodo T ≫ RC), el condensador tiene tiempo de sobra para ıa cargarse y compensar el potencial de la fuente, por lo que VC ≈ V ≫ VR , y entonces VR (t) ≈ RC dV(t) , dt (4)

es decir, la diferencia de potencial en la resistencia es proporcional a la derivada de la se˜al n aplicada. Para una se˜al de entrada triangular, con potencial Vpp pico a pico, V (t) cambia n de −Vpp /2 a +Vpp /2, o viceversa, en un tiempo T /2, siendo T = 1/f el periodo. Por tanto dV /dt = Vpp /(T /2) = 2f Vpp , y VRpp = 2|VRmax | = 4RCf Vpp. 2 (5)

Para una se˜al de entradasinusoidal, con potencial Vpp pico a pico, V (t) = (Vpp /2) sin(ωt) =⇒ dV /dt = n (ωVpp /2) cos(ωt), donde ω = 2πf . Por tanto, la se˜al de salida estar´ desfasada 90◦ con respecto n a a la de entrada, y su amplitud pico a pico ser´ a VRpp = 2πRCf Vpp. (6)

Integradores
Consideremos de nuevo la ecuaci´n (1). Si V (t) var´ r´pidamente (con periodo T ≪ RC), o ıa a el condensador no tiene tiempo decargarse y descargarse en cada ciclo, por lo que casi todo el potencial cae en la resistencia, VR ≈ V ≫ VC , y RC dVC (t) 1 ≈ V (t) =⇒ VC (t) ≈ dt RC V (t)dt, (7)

es decir, la diferencia de potencial en el condensador es proporcional a la integral de la se˜al n aplicada. Para una se˜al cuadrada n V (t) = Integrando VC (t) = (1/RC)(Vpp /2)t si 0 < t < T /2 (1/RC)(Vpp /2)(T − t) si T /2 < t < T1 Vpp T Vpp = RC 2 2 4RCf (9) (10) +Vpp /2 si 0 < t < T /2 −Vpp /2 si T /2 < t < T (8)

VCpp = VCmax − VCmin = Para una se˜al sinusoidal, n

V (t)dt = (Vpp /2) cos(ωt)/ω y VCpp = Vpp . 2πRCf (11)

Filtros
Consideremos ahora el caso en que V (t) es un potencial alterno sinusoidal: V (t) = V sin(ωt) En este caso, VC (t) tambi´n lo ser´, aunque con cierto desfase φ: e a VC (t) = VC sin(ωt − φ)(13) (12)

Para comprobarlo, podemos sustituir (12) y (13) en la ecuaci´n (1), comprobando que efectivao mente es una soluci´n, siempre y cuando se cumpla que o tan φ = ωRC = 2πf RC VC = V . 1 + (2πf RC)2 (14) (15)

Este es el llamado filtro pasa-baja: Para frecuencias bajas (f ≪ 1/RC) la se˜al de salida (el n voltaje VC en el condensador) es aproximadamente igual a la de entrada V . Por el...