Las Estructuras De Las Matematicas.

LAS ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS
Y NICOLÁS BOURBAKI
Jesús Hernández
Universidad Autónoma de Madrid
1.- INTRODUCCIÓN
Hacia mediados de los años sesenta empezó a llegar a España, procedente
de París -como tantas otras antes, como algunas más después- una moda cultural,
el "estructuralismo". Entre sus productos más visibles había alguno típicamente
parisino (M. Foucault, con Las palabras y lascosas) y algunos que lo eran
menos (Levi-Strauss, con la Antropología estructural, la gramática transformacional
de Chomsky,...). Esta moda duró lo que duró y de ella ha quedado lo que
ha quedado, pero no es ese el objeto de estas líneas. Un librito de Piaget, citado
más abajo, sirvió a muchos de guía en aquellos años.
En las manifestaciones de este estructuralismo se hacía amplio uso (yabuso) de la palabra "estructura" en múltiples sentidos, y no pocos sinsentidos,
no siempre coincidentes. Entre las muchas tendencias comunes del pensamiento
estructural estaba, de todos modos, la manifestada en el texto que sigue de
Levi-Strauss.
"La estructura no pertenece al orden de la observación empírica, no
revela una simple coherencia interna ... sólo puede llamarse estructura
a unaorganización que cumple las dos condiciones siguientes: se
trata de un sistema regido por una cohesión interna, y esa cohesión,
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SEMINARIO «OROTAVA» DE HISTORIA DE LA CIENCIA - AÑo IV
inaccesible a la observación de un sistema aislado, se revela en el estudio
de las transformaciones gracias a las cuales encontramos propiedades
semejantes en sistemas distintos en apariencia".
Estastendencias que trasladan la atención de los elementos considerados
para fijarla en las relaciones entre ellos, relaciones que se estudian independientemente
de la naturaleza de los elementos, ya habían aparecido antes en
otros lugares del pensamiento y de la geografía. Por citar un solo ejemplo,
Cassirer, en un texto de 1945 dice que .
" Los métodos y fines de la lingüística estructural sonrepresentativos
de una tendencia general del pensamiento de la moderna investigación
científica. El acento sobre estructura y sistema puede hallarse en biología,
psicología y filosofía".
Cassirer no menciona aquí la matemática -que, por cierto, conocía bien, y
sobre la que ha escrito páginas muy inteligentes- pero hubiera podido hacerlo.
Unos años antes del texto anterior había comenzado apublicarse en París una
serie de Elementos de matemática, de autor Nicolas Bourbaki, en los que las
estructuras tenían un papel básico. Como veremos después, estas estructuras
habían ido surgiendo en la matemática a lo largo del siglo XIX, cristalizando en
las formas hoy manejadas hacia 1930. Ciertamente, las matemáticas se prestaban
especialmente bien a esta organización. Una de sus característicasfundamentales,
la demostración, no había variado desde los griegos, al menos si hacemos
caso a Bourbaki.
"... a partir de los primeros textos detallados que conocemos (que
datan de mediados del siglo V) el "canon" ideal de un texto matemático

está perfectamente fijado, y encontrará su realización más perfecta
en los grandes clásicos, Euclides, Arquímedes y Apolonio: la noción
dedemostración en estos autores no se diferencia en nada de la nuestra
".
El modelo de presentación -axiomática- de la matemática es, como se sabe,
los Elementos de Euclides, uno de los libros más célebres y traducidos de la historia
de la humanidad y empleado todavía como texto en épocas recientes. En el
siglo XIX surgen las geometrías no euclídeas y en 1899 publica Hilbert sus
Fundamentos de laGeometría, que será el modelo de la axiomática moderna. A
lo largo del siglo XIX las matemáticas han ido ocupándose cada vez más de
objetos que no son números y de los que no se tiene una interpretación sensible:
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LAS ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS
Boole dice que "no forma parte de la esencia de la matemática el ocuparse de
las ideas de número y cantidad" y que la matemática trata "acerca de las...