Lecccion potencias

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS

III

Lección 8:
Potencias con exponentes
enteros
Cuando queremos indicar productos de factores iguales,
generalmente usamos la notación exponencial. Por ejemplo
podemos expresar 11 x 11, como 112 (11 al cuadrado), del
mismo modo 8 x 8 x 8 x 8 x 8, puede expresarse como 85
(8 a la quinta). Para referirnos a expresiones como las anteriores,
también decimos que"el 11 está elevado al cuadrado" o que el
"8 está elevado a la quinta potencia". Usted ya ha usado esta
notación en los cursos anteriores y en algunas lecciones de
este libro. Ahora trataremos de profundizar más en el concepto
de potenciación.
En la notación exponencial, la base es el factor que debe
multiplicarse por sí mismo tantas veces como lo indica el
exponente. Así en la expresión95, tenemos:
Exponente
95
base

102

LECCIÓN 8
95 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9
5 veces
En general, si tenemos un número real cualquiera que
llamamos a y un número natural que llamamos n, entonces:
an = a x a x a x a x ..... x a
n veces
La expresión anterior nos dice que an significa que hay que
multiplicar a x a x a..., n veces.
Cuando la base de una potencia es un número positivo, elresultado siempre es positivo. Si la base es negativa, el signo del
resultado depende del exponente, si el exponente es un número
par, el resultado es positivo; si es impar el resultado es negativo.
Ejemplos:
• (–5)4 = (–5) (–5) (–5) (–5) = 625
• (–5)5 = (–5) (–5) (–5) (–5) (–5) = –3125
Observe que el signo del resultado es consecuencia de las
reglas de multiplicación de los números racionales.Operaciones con potencias
Para poder operar con exponentes hay que tener en cuenta, que:

103

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• Si a es un número cualquiera, entonces:
a1 = a
Esto significa que si el exponente es uno el resultado es igual
a la base de la potencia.
Ejemplos:
•
•
•
•

13281 = 1328
0.041 = 0.04
(–2456)1 = –2456
(–0.378)1 = –0.378

•

(

34
59

)1

=

34
59

Si a es un número cualquiera distinto de cero, entonces:
a0 = 1
Esto significa que si el exponente es 0 (cero), el resultado
de la potencia siempre es igual a 1.
Ejemplos:
•
•
•
•
•

104

13280 = 1
(–0.375)0 = 1
2.180 = 1
(–4.30)0 = 1

(

34
59

) =1
0

LECCIÓN 8
Aquí hay que considerar la condición a ≠ 0, ya que
no se puede resolver la potencia00.
Hasta ahora hemos hablado de exponentes que son números
naturales, es decir 0 ó cualquier número entero positivo; pero el
exponente de una potencia también puede ser un número entero
negativo. En este caso

• Si a es un número cualquiera distinto de cero,

y n es un

número natural, entonces:
a=
-n

( )=
1
a

n

1
an

Esto significa que cuando el exponente es negativo sedebe transformar la potencia en otra cuya base sea el inverso
multiplicativo de la base dada, cuyo exponente sea el inverso
aditivo del que se tenía.
Ejemplos:
• 2–3 =

( )=
1
2

3

1
23

=

( ) =-

• (–2) –3 = -

( ) = (–2)

••

1
2

3

1
2

-3

3

-4

3
2

1
23

=-

=

1
8

1
8

= –8

( )=( )=
2
3

1
2x2x2

4

81
16

Hemosdicho que en matemáticas es útil el uso de letras para
expresar un número cualquiera, para representar una cantidad

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III

que no conocemos o para expresar relaciones entre números;
entonces, así como usamos los exponentes para indicar productos
entre números, también los usamos cuando los números están
representados por letras. De este modo podemosescribir 2x2, z–3,
etc.
Por otro lado es importante recordar que si una expresión
está encerrada entre paréntesis y elevada a una potencia, esto
significa que toda la expresión debe elevarse a la potencia
indicada.
Por ejemplo:
1

• (5 + 2 – 2)2 = 3.5 2 = 12.25
• ( x + 2 y)3 = ( x + 2 y) ( x + 2 y) ( x + 2 y)
Ahora veremos ciertas reglas que nos permiten hacer
operaciones con potencias....