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11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

11.1 Estudia y representa la siguiente función cuadrática: f(x) ‫ ؍‬2x 2 ؊ x ؉ 2.
Es una parábola con las ramas hacia arriba, pues a Ͼ 0.
1 15
El vértice es el punto V ᎏᎏ , ᎏᎏ .
4 8

΂

Y

΃

1
El eje de la parábola es la recta x ϭ ᎏᎏ .
4

y=2x2 –x +2

Corte con el eje OY: A(0, 2).
1 Ϯ ͙ෆ
Ϫ15
Corte con el eje OX: 2x 2 Ϫ x ϩ 2 ϭ 0 ⇒ x ϭ ᎏᎏ . No tiene solución.
4

V( 1 , 15 )
4 8

2
O

2

X

Luego la parábola no corta el eje OX.
11.2 Estudia y representa la siguiente función: f(x) ‫ ؍‬2x 2 ؉ x ؊ 6.
Es una parábola con las ramas hacia arriba, pues a Ͼ 0.
Ϫ1 Ϫ45
El vértice es el punto V ᎏᎏ , ᎏᎏ .
4
8

΂

Y

΃y= 2x2 +x –6

Ϫ1
El eje de la parábola es la recta x ϭ ᎏᎏ .
4

2

Corte con el eje OY: A(0, Ϫ6)
Ϫ1 Ϯ 7
3
Corte con el eje OX: x ϭ ᎏᎏ ⇒ A(Ϫ2, 0) y B ᎏᎏ , 0
4
2

΂

O

΃

2

X

V( –1 ,–45)
4 8

11.3 Representa gráficamente la siguiente función potencial: y ‫ ؍‬؊0,75x 3.
Y
y= –0,75x3

1
O

1

X

11.4 Representa gráficamente la siguiente función y explica lasdiferencias existentes con la función del ejercicio anterior: y ‫ ؍‬2,5x 4.
y ‫ ؍‬؊0,75x 3

Y

y= 2,5x4

Dominio

R

R

Recorrido

R

R؉

Simetría

Respecto de (0, 0)

Respecto al eje OY

Continuidad

En todo el dominio

En todo el dominio

Crecimiento

Creciente para x Ͼ 0
Decreciente para x Ͻ 0

Creciente en todo el
dominio

1
O

206

1

X

y ‫؍‬2,5x 4

Pasa por los puntos

(1; Ϫ0,75); (0, 0);
(Ϫ1; Ϫ0,75)

(1; 2,5); (0, 0);
(Ϫ1; 2,5)

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؊1
11.5 Representa gráficamente la siguiente función de proporcionalidad inversa: f(x) ‫ —— ؍‬.
2x
Y
y= –1
2x
1
O

1

X

11.6 Un estanque tarda en llenarse 5 horas con los 8 grifos que tiene. ¿Cuál es la función que expresa la relaciónentre el número de grifos, x, con el tiempo, y, que emplea el estanque en llenarse? Represéntala gráficamente.
40
La función es y ϭ ᎏᎏ .
x
Y
y = 40
x
10
O

5

X

11.7 Halla el dominio de la siguiente función y represéntala gráficamente a partir de la traslación de funciones.
Su dominio es R Ϫ {2}.
xϪ2ϩxϪ2ϩxϪ2ϩ2
3x Ϫ 4
2
Operando: f(x) ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏᎏ ϭ 3 ϩ ᎏᎏ .
xϪ2
xϪ2
xϪ2

y= 3x–4
x –2

Y

1

Se trata de una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba y una traslación horizontal
2
de 2 unidades hacia la derecha de la función: f(x) ϭ ᎏᎏ .
x

1

O

X
y= 2
x

11.8 De las siguientes funciones, di cuáles son racionales, halla el dominio de cada una y represéntalas gráficamente.
x2 ؊ 1
4
b) y ‫—— ؍‬
c) y ‫—— ؍‬
a) y ‫ ؍‬5x 2 ؉ 1
x؊1
x؉1
a) Dom y ϭR

x2 Ϫ 1
c) y ϭ ᎏᎏ ⇒ Dom y ϭ R Ϫ {ϩ1}
xϪ1

b) Dom y ϭ R Ϫ {Ϫ1}

Y

Y

Y

1

y= 5x2 +1

O

1

X

2

1

O

O

2

X

x2 – 1
y = ——––
x+1

1

X

y= 4
x +1
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11.9 Con 1000 metros de alambre, deseamos construir un cercado de forma rectangular que tenga la máxima área posible. ¿Cuáles serán susdimensiones?
Sea b la base del rectángulo y h su altura, tenemos 1000 ϭ 2b ϩ 2h. Simplificando, 500 ϭ b ϩ h. Despejando una de las variables se obtiene: b ϭ 500 Ϫ h.
El área del rectángulo que se quiere maximizar es: S ϭ b и h.
Sustituyendo el valor de b en esta última expresión: S ϭ h и (500 Ϫ h) ϭ Ϫh2 ϩ 500h.
Se trata de una función cuadrática con las ramas hacia abajo, pues a Ͻ 0. Si se calculanlas coordenadas del vértice, se obtiene el valor de h que hace su superficie máxima.
Ϫ500
hmáx ϭ ᎏᎏ ϭ 250 m;
Smáx ϭ Ϫ2502 ϩ 500 и 250 ϭ 62 500 m2
Ϫ2
Sustituyendo h en la expresión de b, resulta bmáx ϭ 500 Ϫ 250 ϭ 250 m.
Por tanto, para obtener un cercado rectangular de superficie máxima con 1000 m de alambre, la base y la altura deben medir
250 m cada una.
11.10 Una empresa que...