Lenguaje algebraico

Unidad didáctica: Ecuaciones

Gabriel Bootello Acedo
I.E.S. Las Lagunas - Mijas (Málaga)

Bibliografía consultada

Epitafio de Diofanto

1.-El lenguaje algebraico
Actividad inicial
Comenzamos con una adivinanza que puedes proponer a un amigo:
1. Piensa un número.
2. Multiplícalo por 2.
3. Añade 5 al resultado.
4. Multiplica lo que has obtenido por 5.
5. Añade 75 al resultado.
6.Multiplica el resultado por 10.
7. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.

¿Podrías encontrar el truco utilizado para adivinar el número inicial?

Si llamamos n al número inicial, podemos escribir las expresiones algebraicas que obtenemos en cada paso:
1. n
2. 2n
3. 2n+5
4. 5(2n+5)
5. 5(2n+5)+75
6. 10[5(2n+5)+75]
expresión que simplificamos:

Entonces, según el númeroque te diga tu amigo en el paso 7, tendremos:

Entonces si te dice tu amigo que le sale 3300, entonces puedes recuperar el valor inicial de n=23 deshaciendo la operación: restando 1000 y dividiendo por 100 el resultado. Esto se reduce a una regla rápida de cálculo como es restar un dígito a la cifra del millar y quitar los ceros a la cifra resultante:
Si te dice 2700, nos quedamos con 1700, alque quitamos los dos ceros (1700), y de aquí obtenemos el valor inicial 17
Intenta ahora averiguar qué expresión algebraica obtienes si la adivinanza fuese:
1. Piensa un número.
2. Súmale 2.
3. Eleva el resultado al cuadrado.
4. Réstale cuatro veces tu número inicial.
5. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.
Solución
Como ves, podemos resolver problemas manejandoexpresiones en forma de relaciones numéricas, donde una o varias letras tengan un significado concreto, pero desconozcamos sus valores. A estas letras se les llama incógnitas, variables o indeterminadas.
Llamamos expresión algebraica a toda combinación de variables y números relacionados por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicasaparecen en multitud de campos: geometría, física, economía, etc.:
Área de una circunferencia:

Presión de un gas a temperatura constante:

Fórmula del interés simple:

Una fórmula es, pues, una ecuación que relaciona varias variables, llamadas magnitudes, las cuales son propiedades que pueden medirse; como por ejemplo:


Actividades

2.-Valor numérico. Expresiones algebraicas equivalentes

Elperíodo de un péndulo (T) es el tiempo, medido en segundos, que tarda el péndulo en realizar una oscilación (ida y vuelta) y depende únicamente de su longitud (l), veámoslo:

Por ejemplo, si queremos averiguar el período de un péndulo de 1 m. de longitud, entonces sustituimos l=1 m. en la fórmula anterior:


Es decir, si mides con un cronómetro lo que tarda en realizar una oscilación, verás que tarda2.007 segundos. A este resultado lo llamamos valor numérico de la expresión.
Llamamos valor numérico de una expresión algebraica para unos valores fijos de las letras, al resultado obtenido al sustituir las letras por estos valores fijados y efectuar las operaciones que se nos indique.
Actividades

Fíjate en estos dos cuadrados:

Al calcular el área de cada uno obtenemos las expresionesalgebraicas:

Al ser las figuras equivalentes, ¿cómo son sus áreas?: fíjate que son iguales y que, por tanto, en las dos expresiones al sustituir cualesquiera valores numéricos de las letras a y b, por ejemplo a=5 y b=3 obtenemos los mismos valores numéricos en las expresiones algebraicas:

A estas expresiones algebraicas las llamaremos equivalentes:
Dos expresiones algebraicas son equivalentescuando tienen el mismo valor numérico para cualquier valor que demos a las letras.
Actividades

3.-Igualdades, identidades y ecuaciones

Varias expresiones numéricas o algebraicas relacionadas entre sí con el signo igual ( = ) le llamaremos igualdad.
Algunas igualdades podrían ser:
a. 42-32=12
b. 7.103=7000
c. (a+b)2=a2+2ab+b2
d. x+(1/7).x=24
Estas igualdades no tienen el mismo carácter. Para...