Ley De Bendford

Universidad Santo Tomás

Curso ACL 9.0

LEY DE BENFORD
Fuente: www.estadisticasparatodos.es
Los números suelen comenzar más frecuentemente por “1” que por cualquier otro
dígito…; análisis estadístico para Auditores.

En busca del Fraude
Historia
Quien primero se dio cuenta de este fenómeno fue en 1881 el matemático y astrónomo
Simon Newcomb. Un día, Newcomb estaba usando un libro de logaritmos yse dio
cuenta de que las páginas del libro estaban más viejas y usadas cuanto más cercanas
estaban del principio. Ten en cuenta que por aquella época, las tablas de logaritmos eran
el libro de cabecera de cualquier manipulador de cifras, se empleaban, entre otras cosas
para multiplicaciones entre grandes números. Actualmente equivaldría a examinar el
desgaste de la tecla "1" en cajas registradoraso calculadoras ¿A qué se debía? Sólo
podía tener una explicación: a lo largo de los años había consultado mucho más el
logaritmo de los números que comenzaban por 1 que de los que comenzaban por
números más altos.
Nuestro astrónomo dedujo que los dígitos iniciales de los números (al menos los
utilizados en su trabajo que provenían de la observación de los astros principalmente)
no sonequiprobables sino que el 1 aparece como dígito inicial más frecuente seguido
del 2 etc. hasta el 9 que es el menos frecuente. Mediante un breve e ingenioso
razonamiento, aunque sin presentar realmente un argumento formal ni fórmula
matemática, Newcomb enunció verbalmente una relación o ley logarítmica: “la ley de
probabilidad de ocurrencia de números es tal que las mantisas de sus logaritmos
sonequiprobables”.
El asunto fue rápidamente olvidado hasta 1938, cuando Frank Benford, un físico de la
compañía General Electric, se dio cuenta del mismo patrón. Entusiasmado por el
descubrimiento, estudió 20.229 números provenientes de 20 muestras de todo tipo:
constantes y magnitudes físicas, longitudes de ríos, estadísticas de béisbol, direcciones
de personas... incluso cifras sacadas de portadas derevistas. A partir de los datos
extraídos del mundo real, comprobó que la probabilidad de que un número en una serie
de datos comience por el dígito d es de P[d] = log(1 + 1/d) y postuló la llamada "ley de
los números anómalos de Benford". Según dicha ley la probabilidad de que en una
serie de muchos datos el primer digito de un número sea 1 es del 30%, 17,6% para un 2,
12'5%
para
el
3
y
así
vadecreciendo...
El análisis de Benford era una prueba de la existencia de la ley, pero tampoco fue capaz
de explicar bien por qué era así.
El primer paso para explicar esta curiosa relación lo dio Roger Pinkham en 1961, un
matemático de New Jersey. El razonamiento de Pinkham era el siguiente. Supongamos
que realmente existe una ley de frecuencias de dígitos. En tal caso dicha ley debería ser
universal.Tanto si calculamos los precios en euros, dólares, dinares o dracmas, o si
medimos la longitud en pulgadas o metros, las proporciones de frecuencias de dígitos
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deberían ser las mismas. Es decir, Pinkham afirmaba que la distribución de las
frecuencias de dígitos debía ser invariante frente a cambios de escala. Luego
demostró que si unaley de frecuencias de dígitos era invariante frente a la escala,
entonces se trataba de la Ley de Benford . La prueba aportada iba confirmando que la
Ley de Benford realmente existe.
A pesar de que la ley resultaba obvia con sólo hacer algunas comprobaciones sencillas –
siempre que el conjunto de datos fuera válido, porque no todos lo son. No fue hasta
1996 que un matemático llamado Ted Hill diocon una demostración matemática
satisfactoria. La demostración tiene que ver con algunos teoremas del límite central y su
relación con el comportamiento de las mantisas en las multiplicaciones de valores
aleatorias.
La Ley de Benford es indudablemente un resultado interesante y sorprendente, pero
¿cuál es su relevancia? Un gran paso lo ha dado el Mark Nigrini, un profesor de
contabilidad de...