ley de cosenos

Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula. O sea, la
α
está en el ángulo opuesto de A. La
β
está en el ánguloopuesto de B. Y la
γ 
está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuandoresuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrámal.Resolución de triángulos por la ley de los SenosResolver un triángulosignifica encontrar todos los datos que te faltan, a partirde los datos que te dan (que generalmente son tres datos).*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolvercon la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de loscosenos lo puede resolver.En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y unlado, usa ley de los senos. Sipor el contrario te dan dos lados y el ángulo quehacen esos dos lados, usa la ley del coseno.Supongamos que te ponen el siguiente problema:Resolver el triángulo siguiente:Llamemos
β
al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B;
α
al ángulo de 43° y A al lado de 5.Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A = 5B = ?C = ?
α
= 43°
β
= 27°
A BC
βγ α
 
A BC
βγ α


 
γ 
= ?El ángulo
γ es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos deun triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de untriángulo, el tercero siempre sale así:
γ 
= 180° -
α
–
β
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien oapúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan yqueda así:
γ 
= 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°
γ 
= 110° Ya tenemos entonces los tres ángulos
α
,
β
y 
γ 
.Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:Sustituyendo queda:Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:Haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existeahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B,(como elsen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y calculamos ésta expresión:3.32838 = B y esto es lo que vale B. Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, peroahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C:(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)Despejemos la C, (como sen (110°) estádividiendo abajo, pasa del ladoizquierdo multiplicando arriba):hacemos las
operaciones
y queda:6.88925 = C y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usadola de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:o escrito ya sin el término de en medio:igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendoabajo, pasa del ladoizquierdo multiplicando arriba): y si haces las operaciones verás que te dá C = 6.88925 igual que antes.





 
Ley de cosenos
C
2
= A
2
+ B
2
– 2ABcos
 
γ 
La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de untriángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado quequieres conocer. Esta relación es útil para resolverciertos tipos de problemasde triángulos.La ley del Coseno dice así: y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C,entonces dice así:donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y 
α
,
β
y 
γ 
(minúsculas)son los ángulos del triángulo:Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula. O sea, la a está en elángulo opuesto de A. La b está en el ánguloopuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuandoresuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrámal.Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y elángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos:Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo...