Ley De H^Opital

Regla de L’Hôpital 

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de L’Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límitesde funciones que estén en forma indeterminada.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo  ó .Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existeel límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,Guillaume de l'Hôpital |
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque enrealidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.

* Dado que f(c)=g(c)=0el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

* Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:-------------------------------------------------

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Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valornumérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla seobtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

 

 

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Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones...