Leyes de conservacion, tension

Mec´nica de S´lidos a o
Octubre 2009

3 Leyes de Conservaci´n, Tensi´n y ... o o

3.1 Masa
Supongamos ∃ funci´n m(B), masa del o cuerpo B, t.q. m(B) ≥ 0 ∀ cuerpo B

• m es aditiva:
m(B ∪ B ) = m(B) + m(B ) para B, B disjuntos

• m es continua respecto del volumen del cuerpo B
=⇒ m(B) → 0 cuando vol(B) → 0

(se excluye el estudio de masas concentradas, objeto de la Mec´nica de aPart´ ıculas) Como en su definici´n no hay referencia a un o observador, m(B) es una propiedad intr´ ınseca al cuerpo B, independiente de su movimiento, y por lo tanto, m es un escalar objetivo.
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Principio de Conservaci´n de la Masa (PCM) o

d m(B) = 0 dt

∀ cuerpo B

(1)

m es independiente de la configuraci´n B ocuopada por B desde el punto de vista de un observador arbitrario. El requisito de continuidad asegura que ∀ config. B, ∃ un campo escalar ρ, densidad de masa del material del cuerpo B en la config. B, t.q. m(B) =
B

ρ(x, t)dv

de donde, asumiendo ρ suave y siendo m ≥ 0, resulta ρ(x, t) ≥ 0 ∀x ∈ B

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3 Leyes de Conservaci´n, Tensi´n y ... o o Forma local del PCMComo m(B) es indepte. de la configuraci´n: o
B

ρ(x, t)dv =

B0

ρ0(X )dV =

B

ρ0(X )J −1dv

Aplicado a B arbitrario, por la continuidad de ρ, resulta ρ = J −1ρ0 Luego, ρ0 detA ≡ J = >0 ρ Como ρ es suave, derivando (Lagrang.) con respecto al tiempo, se obtiene ˙ ρ ˙ J − = = tr Γ = tr (grad v ) = div v ρ J =⇒ ρ + ρ div v = 0 ˙ (Forma local “din´mica” del PCM) a Ejercicio 1 Mostrar que ∂ρv = (ρv ) + div (ρv ⊗ v ) ˙ ∂t
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(Forma local del PCM)

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Forma global del PCM

0= =
B0

B

˙ (ρ + ρ div v ) dv = ˙ ρJ + ρJ dV = ˙

d d ρJdV (ρJ ) dV = dt B0 B0 dt (Forma global del PCM) (2)

B0

˙ (ρ + ρ div v ) JdV

d =⇒ ρ dv = 0 dt B

(Notar que B cambia con el tiempo) Ejercicio 2 Mostrar que (2) puedeexpresarse como ∂ ρ(x, t)dv = − ρ(x, t)v (x, t)dv D ∂t ∂D donde D es la regi´n fija de E ocupada por o el cuerpo en el instante t (o sea, B coincide con D en t), y ∂D su frontera.

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Para un campo (escalar, vectorial o tensorial) arbitrario f : d d d ρf JdV = ρf dv = (ρf J ) dV = dt B dt B0 B0 dt ˙ ρJ + ρJ f dV + ˙ ρf˙JdV= ρf˙dv
B0 =0 B0 B

Deformaci´n isoc´rica (J = 1): o o

ρ = ρ0

∀ deformaci´n a partir de B0 o

tr Γ ≡ div v = 0
λ tr Σ = λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ1 λ2 3 ˙ ˙ ˙

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3.2 Momento
Se define el momento lineal de un cuerpo B como
B

ρ(x, t)v (x, t)dv

o, en formulaci´n Lagrangiana, o
B0

ρ0(X )v (χ(X , t))dV

Sedefine el momento rotacional de un cuerpo B como
B

ρ(x, t)(x − x0) × v (x, t)dv

dependiente del valor de x0 elegido. Nota: Ni el momento lineal ni el rotacional son objetivos (dependen de la velocidad!!!).

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3 Leyes de Conservaci´n, Tensi´n y ... o o Fuerzas Se distinguen 2 tipos: Fuerzas de inercia: dependen de la elecci´n del observador y su marco de refeorencia. Fuerzas aplicadas: provienen de influencias externas indeptes. del observador o marco de referencia. Act´an en la config. u actual B, y pueden ser de 2 tipos:

• Fuerzas de cuerpo:
B

ρ(x, t)b(x, t)dv

b: campo vectorial densidad de fuerzas de cuerpo definido sobre B.
Siendo b Euleriano (y objetivo):

b∗ = Qb
Ejemplo: fuerza de gravedad.
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Fuerzas aplicadas [contin´a] u

• Fuerzas de contacto:
∂B

t(x, ∂B)da

t: campo vectorial densidad de fuerzas de contacto, definido sobre alguna superficie suave por trozos en B (incluida ∂B).
Notar que t depende de la superficie sobre la que act´a. u Siendo t Euleriano (y objetivo):

t∗ = Qt
Ejemplos: fricci´n tangente y presi´n o o normal a la...