Leyes De Kepler Y Gravitación Universal

EJERCICIOS LEYES DE KEPLER Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL Solucionario 1.¿A qué distancia debiera estar un cuerpo de la superficie terrestre para que su peso se anulara?

El peso de un cuerpo se anularía en dos circunstancias: i) ii) En donde g, la intensidad de campo gravitatoria, sea nula. Y eso ocurre Solamente a una distancia infinita. En algún lugar en donde debido a la presencia de otro cuerpoestelar la fuerza gravitacional debida a la Tierra y debida a ese otro cuerpo se anulen entre sí. Esto ocurre, por ejemplo, en la línea recta que une a la Tierra con la Luna, a ocho novenos de la distancia que hay entre esos cuerpos medida desde la Tierra. Calcular la intensidad del campo gravitatorio a 630 km de la superficie terrestre.

2.-

Datos: R = RTierra + h = 6.370 km + 630 km = 7.000km = 7x106 m m = 5,98x1024 kg

g=
3.-

Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24 m = = 8,14 2 2 2 R s 7 x10 6

(

)

rd u

g

Datos: mT = 5,98x1024 kg m = 10 ton = 104 kg distancia entre la Tierra y la Luna, dTL = 384.000 km = 3,84x108 m distancia entre la Tierra y el satélite, dT = x distancia entre la Luna y el satélite, dL = dTL - x

o

.c

l

©

¿A qué distancia entre la Tierra yla Luna debiera situarse un satélite de 10 toneladas para ser igualmente atraído por ambos?

x

dTL - x L FTS FLS

T

w

FTS = FLS

.h

La fuerza de atracción de la Tierra sobre el satélite, FTS, y la de la Luna sobre el satélite, FLS, son iguales, por lo tanto:

v

al extraer raíz, se tiene:

1 1 = x 9(d TL − x )
4.-

w

Gm T m GmL m = 2 x (dTL − x )2

mT mL = 2 x (dTL− x )2

e

mT mT 81 = 2 x (dTL − x )2

1 1 = 2 2 x 81(d TL − x )

w

9d TL − 9 x = x

x=

8 d TL = 3,413x108 m = 341.333 km 9

A cierta altura sobre la Tierra se encuentra un satélite de 500 kg sobre el cual el campo gravitatorio terrestre actúa con la fuerza de 400 N. ¿Cuál es la intensidad del campo gravitacional y la aceleración de gravedad a esa distancia?

Datos: W = 400 N m =500 kg Como la aceleración de gravedad y la intensidad del campo gravitacional numéricamente tienen el mismo valor, entonces:

Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www.hverdugo.cl

1

W = mg 5.Datos:

g=

w 400 N m = = 0,8 2 m 500 kg s

¿A qué distancia de la superficie terrestre gira un satélite en órbita circular si su masa es de 1000 kg y el campo actúa sobre élcon la fuerza de 8000 N?

m = 1.000 kg mT = 5,98x1024 kg F = 8.000 N

F=

Gm T m , como R = RT + h, entonces se determina R: R2 Gm T m 6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24 ⋅ 10 3 R= = = 7.061.037 m = 7.061 km F 8.000
Calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 3630 km de la superficie terrestre.

h = R – RT = 7.061 m – 6.370 km = 691 km

6.Datos:

h = 3.630 km

Datos: m= 80 kg F = 16 N

g=

w 16 N m = = 0,2 2 m 80 kg s

Como g =

Gm , entonces se tiene R2 Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24 R= = = 44.657.922 m = 44.658 km g 0,2

Entonces, el satélite está a h = 44.658 km – 6370 km = 38.288 km de altura sobre la superficie terrestre.

Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www.hverdugo.cl

w

W = mg, como g es, además de aceleración degravedad, la intensidad de campo gravitatorio,

w

Se puede determinar, además, la aceleración que tendría el satélite si empezara a caer en forma libre. También se podría determinar velocidad lineal con que gira en torno a la Tierra, esto pues la fuerza con que la Tierra lo atrae también es la fuerza centrípeta a que se ve afectado el satélite. También se puede conocer la altura a que seencuentra el satélite respecto a la superficie terrestre.

w

.h

v

e

rd u

g

o

7.-

Un satélite de 80 kg gira en una órbita circular. Si el campo gravitatorio actúa sobre el satélite con una fuerza de 16 N ¿cuál es la intensidad del campo gravitatorio a esa distancia?, ¿qué más se podría calcular?

.c

l

g=

Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24 m = = 3,99 2 2 7 2 R s 10...