Leyes De La Probabilidad

Leyes De La Probabilidad

Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad que son o forman las Leyes de Probabilidad.
Dentro de las leyes de la probabilidad se encuentran los axiomas y los teoremas:

Axioma
Es una verdad evidente que no requieredemostración y que trabajan con las frecuencias relativas de una distribución las cuales tienen las siguientes propiedades:
1. Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.
2. La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad.
3. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es lasuma de las frecuencias relativas de cada uno.
Hay que tener presente que la probabilidad de un evento, y como se menciona que es la frecuencia relativa cuando se aumenta el tamaño de la muestra, se tienen lo siguiente.
Si E es un evento de un espacio muestral S y P (E) es la probabilidad de E, entonces se satisfacen los axiomas de la probabilidad:
1. 0 = P (E) =1.
2. P(S) = 1.
3.Si E1, E2, ... , En son eventos mutuamente excluyentes, entonces
[pic]
Con estos axiomas se pueden tratar algunas de las propiedades de la probabilidad de eventos según de la manera en que se trabaje o lleve a cabo.

Axioma 1.-

Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A ( S, entonces se cumple que;

0 ( P(A) ( 1 (3)

Esto significa que la probabilidadde cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.

I P(A) I
___________________________________
• -2 -1 0 1 2

Axioma 2.-
La probabilidad del espacio muestral Ω es unevento seguro, es uno;

P (Ω) = 1

Ejemplo:
Experimento., Se lanza un dado

Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces:

Axioma 3.-
Sea Ω un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que;

A ( Ω, B ( Ω y A ( B =(, es decir, dos eventos mutuamente exclusivos, entonces:
P(A ( B) = P (A) + P (B).

P (A ( B) = P (A) + P (B).

[pic]

Ejemplo:
Experimento: Se lanzan dos monedas
Ω = {ss, AA, SA, as}
N (Ω) = 4
Sean:
A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos soles exactamente,
B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sol exactamente.
Los elementos de A y B son
A = {ss}
B = {sa, as}
Se puede ver que A ( B =(, no hayelementos en común, por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tanto:
P (A ( B) = P (A) + P (B)

Axioma 4.-

Sean A1, A2, A3, A4,..., An eventos mutuamente exclusivos:
P (A1 ( A2 ( A3 ( A4 ... ( An) =
P (A1) + P (A2) + P (A3) + P (A4) + ...+ P (An)
Este axioma dice que la probabilidad devarios eventos mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que:
A ( B = {(},
A ( C = {(},
B ( C = {(},

Por axioma 4
P (A ( B ( C) = P (A) + P (B) + P (C)

Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado
Sean:
• Evento A: que al lanzarun dado salga el 2 o el 4,
• Evento B: que al lanzar un dado salga un número mayor a 4,
• Evento C: que salga el 1 o 3.
Los elementos de A, B y C son
A = {2, 4} , N (A) = 2
B = {5, 6} , N (B) = 2
C = {1, 3} , N (C) = 2

Teorema

Es una verdad que requiere ser demostrada. Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de...