Leyes De Morgan

DEMOSTRACIÓN DE LAS LEYES DE MORGAN MEDIANTE DIAGRAMAS DE VEEN

Es conveniente valerse de los diagramas de Venn para demostrar algunas de las propiedades de las operaciones entre conjuntos.

Porejemplo, sea la siguiente propiedad que combina las operaciones de unión, complementación e intersección, para el caso de dos subconjuntos:

(A [pic] B)´ = A´ [pic] B´

Para ello recurrimos aun diagrama de Venn para dos conjuntos (cuatro regiones) como éste:

[pic]

Trabajamos por separado sobre cada miembro de la expresión y comparamos los resultados como sigue:

(A [pic] B)´|Conjunto |A |B |A [pic] B |(A [pic] B)´ |
|Regiones |R1 ,R2 |R1 ,R3|R1 ,R2 ,R3 |R4 |

A´ [pic] B´

|Conjunto |A |A´ |B |B´|A´ [pic] B´ |
|Regiones |R1 ,R2 |R3, R4 |R1 ,R3 |R2, R4 |R4 |

Como las formulas de losdos miembros corresponden a la misma región del diagrama de Venn, se comprueba la igualdad propuesta y se demuestra la propiedad (A [pic] B)´ = A´ [pic] B, conocida como la ley de Morgan.

A´Operación de complementación

[pic] Operación de intersección

[pic] Operación de unión

Para practicar este método de demostración, consideramos la propiedad distributiva de la intersecciónrespecto a la unión, en el caso de tres conjuntos:

A [pic] (B [pic] C) = (A [pic] B)[pic] (A [pic] C)[pic]

Recurrimos al diagrama de Veen para tres conjuntos,

[pic]

Y trabajamos porseparado sobre cada miembro de la expresión, como sigue:

A [pic] (B [pic] C)

|Conjunto |A |B [pic] C |A [pic] (B [pic] C)...