LEYES DE PROBABILIDAD

LEYES DE
PROBABILIDAD

LEYES DE PROBABILIDAD:

Las relaciones que se dan entre los
eventos al ser aplicadas las operaciones
que se presentaron, se facilitan y
comprenden mejor haciendo uso de los
axiomas y teoremas de probabilidad
(Leyes de Probabilidad).
Axioma: Es una verdad evidente que no
requiere demostración.
Teorema: Es una verdad que requiere
ser demostrada.

AXIOMA 1:
Sea S un espaciomuestral cualquiera y A un evento,
tal que A  S, entonces se cumple que
0  P(A)  1
esto significa que la probabilidad de cualquier
evento no puede ser más grande que uno, ni ser
menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento
seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.
P(A)
___________________________________

-2
-1
0
1

2

AXIOMA 2:
La probabilidad del espacio muestral S es unevento
seguro y es uno:
P(S) = 1
Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado.
Si A = S, es decir si el evento A coincide o es igual al
espacio muestral, entonces:

N ( A) N ( S )
P( A) 

1
N (S ) N (S )

TEOREMA 1:
Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de
 es igual a cero:

N ()
0
P() 

0
N (S ) N (S )

Ejemplos:
Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero
no compraboleto.
Que aparezca un siete al lanzar un dado.
Que una persona viva 250 años.
En estos casos los eventos son vacíos.

AXIOMA 3:
Sea S un espacio muestral cualquiera y sean A
y B dos eventos tales que: A  S, B  S y A  B
= , es decir, dos eventos mutuamente
excluyentes, entonces
P(A  B) = P(A) + P(B)

EJEMPLO:
Experimento: “Se lanzan dos monedas”.
Espacio muestral: S = { ss, aa, sa, as}, N(S)= 4
Sean los eventos:
A: “Caen dos soles exactamente”.
B: “Cae un sol exactamente”.
Los elementos de A y B son: A = { ss }, B = {sa,
as}.
Se puede ver que para A  B =  (vacío, no hay
elementos en común), por lo que los eventos son
mutuamente excluyentes o disjuntos, por tanto
P(A  B) = P(A) + P(B)

CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO:
N ( A) 1
P( A) 

N () 4
N ( B) 2
P( B) 

N () 4
1 2 3
P( A  B) P ( A)  P ( B )   
4 4 4

AXIOMA 4:
Sean A1, A2, A3, A4, ..., An; eventos
mutuamente excluyentes:
P(A1  A2  A3  A4, ...  An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4)
+ ...+ P(An)

Este axioma dice que la probabilidad de
varios eventos mutuamente excluyentes (que
no tienen elementos en común), es igual a la
suma de sus probabilidades.

CONTINUACIÓN:
Si los eventos no son mutuamente excluyentesentonces para n eventos seria:
P ( A1 U A2 U ... U An )  P ( A1 )  P ( A2 )  ...  P( An ) 
n

 P( A I
i j

i

n

Aj )   P ( Ai I A j I Ak ) ...  P ( A1 I A2 I ... I Ak )
i  j k

EJEMPLO:
Experimento: “Se lanza un dado”.
Sean los eventos:
A: “Que al lanzar un dado salga el 2 o el 4”.
B: “Que al lanzar un dado salga un número mayor a
4”.
C: “Que salga el 1 o 3”.
Los elementos de A, B y Cson

A = {2, 4},
B = {5, 6},
C = {1, 3} ,

N(A) = 2
N(B) = 2
N(C) = 2

CONTINUACIÓN:
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya
que:
A  B = {}, A  C = { }, B  C = { }
Por axioma 4:
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)
N ( A) 2

N ( ) 6
N ( B) 2
P( B) 

N ( ) 6
N (C ) 2
P (C ) 

N ( ) 6
P ( A) 

P ( A  B  C )  P ( A)  P ( B )  P (C ) 

2 2 2 6
   1
6 6 6 6

TEOREMA2: LEYADITIVA DE LA PROBABILIDAD.

Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B
 , entonces:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

DIFERENCIA:
Sean A y B dos eventos:
A-B={x|xAyxB}

EJEMPLO:
Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(S) = 12
Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.
Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.
A= { 2s, 3s },
N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
A  B = { 2s }
N(A  B ) = 1

2
3
1
1
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )  


12 12 12 3

TEOREMA 3:
Sea A un evento cualquiera y S un espacio
muestral, tal que A  S,

si Ac es el

complemento del evento A, entonces la
probabilidad de Ac es igual a 1 menos la
probabilidad de A, es decir
P(Ac) = 1 – P(A)

EJEMPLO:
Experimento.-...