LEYES QUE RIGEN LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

LEYES QUE RIGEN LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Leyes conmutativas
Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que puedes intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a ser la misma.
a + b  =  b + a
a × b  =  b × a
Ejemplos:
Puedes intercambiarlos cuando sumas:
3 + 6 = 6 + 3

Puedes intercambiarlos cuando multiplicas:
2 × 4 = 4 × 2

Leyes asociativas
Las "Leyesasociativas" quieren decir que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.
(a + b) + c  =  a + (b + c)
(a × b) × c  =  a × (b × c)
Ejemplos:
Esto:
(2 + 4) + 5  =  6 + 5  =  11
da el mismo resultado que esto:
2 + (4 + 5)  =  2 + 9  =  11

Esto:
(3 × 4) × 5  =  12 × 5  =  60
da el mismo resultado que esto:
3 × (4 × 5)  =  3 × 20  =  60

Usos:
Aveces es más fácil sumar o multiplicar si cambiamos el orden:
¿Cuánto es 19 + 36 + 4?
19 + 36 + 4  =  19 + (36 + 4)  =  19 + 40 = 59
O si los reordenamos un poco (fíjate que aquí usamos también la ley conmutativa para eso):
¿Cuánto es 2 × 16 × 5?
2 × 16 × 5  =  (2 × 5) × 16  =  10 × 16 = 160



LEY CONMUTATIVA DE LA UNION

Demostraci ́on En efecto,
1. Sea x cualquier elemento de U . Entonces,x∈(A∪B) ⇐⇒ x∈A∨ x∈B {Definici ́ondeuni ́on}
⇐⇒  x∈B∨ x∈A {Commutatividad de ∨}
⇐⇒  x ∈ (B ∪ A) {Definici ́on de uni ́on} Como x es cualquiera de U , se sigue que
A∪A=A
Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U , se verifica: 1. A∪B=B∪A
2. A∩B=B∩A
por lo tanto,
∀ x [ x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ B ∪ A ] A∪B=B∪A
De una forma similar se demuestra que A∩B=B∩A.
En la teoría de conjuntos, la uniónde dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los números impares positivos I:



La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo,
N = P ∪ I.

Dados dosconjuntos A y B, su unión es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B:
La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A y de B:


Unión de dos conjuntos A y B.

Ejemplo.
Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D = {m: m es un número compuesto}. Su unión es entonces , ya que el único número naturalque no es ni primo ni compuesto es (por definición.

En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener elementos repetidos:n 1


Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:
La unión de una colección finita de conjuntos A1, ..., An es el conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto en dichacolección:

Y esta se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión de dos conjuntos (más abajo). De este modo, para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:

Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:
Sea M una familia de conjuntos. Su unión ∪M se define como:

Esta definición coincide con las anteriores en el casode una familia finita de conjuntos:
A ∪ B = ∪M, donde M = {A, B}
A1 ∪ ... ∪ An = ∪M, donde M = {A1, ..., An}
La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras:

donde esta última se aplica en el caso de que se utilice un conjunto índice, tomando M como {Ai: i ∈ I}.
De la definición de unión puede deducirse directamente:
Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo es el propioA :

Tanto A como B son subconjuntos de su unión:

La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B lo deja inalterado:

La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:
Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :

Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la...