Libro De Algebra
Páginas: 495 (123524 palabras)
Publicado: 6 de abril de 2012
´ ALGEBRA LINEAL
Jos´ L´pez/ Jos´ Rodr´ e o e ıguez 6 de septiembre de 2010
ii
A Texto procesado en LTEX y 90 gr´ficas en PsTricks. a
iii GARANT´ IA
Los autores de este texto garantizan a los estudiantes y a los profesores que todo el material es intuitivo, entendible, de complejidad regulada y que saldr´n bien preparaa dos. Nuestra garant´ se debe a que hemos revestido todo elformalismo algebra´ ıa ıco de conceptos geom´tricos, intuitivos y depurados. Tambi´n sabemos que para el estue e diante es muy dif´ asimilar muchos conceptos nuevos al mismo tiempo y por ello ıcil hemos sido cuidadosos en introducir conceptos nuevos poco a poco. Hemos a˜adido n muchos ejemplos y variados ejercicios de rutina y adem´s talleres de contenidos a veces a desafiantes. Por todo esto, elestudiante puede confiar en que sale bien preparado si trabaja el material concienzudamente. Comenzamos con sistemas de ecuaciones de primer grado. Inmediatamente pasamos al estudio de matrices y de las operaciones que se pueden hacer con ellas. Paralelamente uno se pregunta sobre el significado de lo que se hace y la respuesta puede darse en t´rminos geom´tricos con sus sofisticaciones: vectores, l´ e eıneas, planos, paralelep´ ıpedos, vol´menes y determinantes, transformaciones lineales, cambio de coordenadas y diagu onalizaci´n. o Jos´ Dar´ L´pez Garc´ e ıo o ıa. Jos´ del Carmen Rodr´ e ıguez Santamar´ ıa Universidad de los Andes
iv
´ INDICE GENERAL
1. ECUACIONES 1.1. Algoritmo solucionador . . . . . . . . . . . 1.2. Sobre las aplicaciones . . . . . . . . . . . . 1.3. Ecuaciones enforma matricial . . . . . . . 1.4. Sistemas de m ecuaciones con n inc´gnitas o 1.5. Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . 1.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 9 11 14 21 29 30 31 31 34 39 44 46 51 58 63 68 72 74 76 82 91 98 101 103 105 105 106 117 118
2. LINEAS, PLANOS, Rn Y EV=ESPACIOS VECTORIALES 2.1. Espacios cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2.2. Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. EV=Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Espacios digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. La norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. El producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. L´ ıneas enel plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Ecuaci´n vectorial de la l´ o ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Sistemas 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Planos . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. L´ ıneas y planos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Sistemas 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Las estaciones (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16. Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3. EL DETERMINANTE 3.1. Idea fundamental . . . 3.2. Paralelep´ ıpedos = plps 3.3. Ejercicios de repaso . . 3.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 4. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA 4.1....
Jos´ L´pez/ Jos´ Rodr´ e o e ıguez 6 de septiembre de 2010
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A Texto procesado en LTEX y 90 gr´ficas en PsTricks. a
iii GARANT´ IA
Los autores de este texto garantizan a los estudiantes y a los profesores que todo el material es intuitivo, entendible, de complejidad regulada y que saldr´n bien preparaa dos. Nuestra garant´ se debe a que hemos revestido todo elformalismo algebra´ ıa ıco de conceptos geom´tricos, intuitivos y depurados. Tambi´n sabemos que para el estue e diante es muy dif´ asimilar muchos conceptos nuevos al mismo tiempo y por ello ıcil hemos sido cuidadosos en introducir conceptos nuevos poco a poco. Hemos a˜adido n muchos ejemplos y variados ejercicios de rutina y adem´s talleres de contenidos a veces a desafiantes. Por todo esto, elestudiante puede confiar en que sale bien preparado si trabaja el material concienzudamente. Comenzamos con sistemas de ecuaciones de primer grado. Inmediatamente pasamos al estudio de matrices y de las operaciones que se pueden hacer con ellas. Paralelamente uno se pregunta sobre el significado de lo que se hace y la respuesta puede darse en t´rminos geom´tricos con sus sofisticaciones: vectores, l´ e eıneas, planos, paralelep´ ıpedos, vol´menes y determinantes, transformaciones lineales, cambio de coordenadas y diagu onalizaci´n. o Jos´ Dar´ L´pez Garc´ e ıo o ıa. Jos´ del Carmen Rodr´ e ıguez Santamar´ ıa Universidad de los Andes
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´ INDICE GENERAL
1. ECUACIONES 1.1. Algoritmo solucionador . . . . . . . . . . . 1.2. Sobre las aplicaciones . . . . . . . . . . . . 1.3. Ecuaciones enforma matricial . . . . . . . 1.4. Sistemas de m ecuaciones con n inc´gnitas o 1.5. Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . 1.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. LINEAS, PLANOS, Rn Y EV=ESPACIOS VECTORIALES 2.1. Espacios cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2.2. Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. EV=Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Espacios digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. La norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. El producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. L´ ıneas enel plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Ecuaci´n vectorial de la l´ o ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Sistemas 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Planos . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. L´ ıneas y planos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Sistemas 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Las estaciones (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16. Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3. EL DETERMINANTE 3.1. Idea fundamental . . . 3.2. Paralelep´ ıpedos = plps 3.3. Ejercicios de repaso . . 3.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 4. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA 4.1....
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