libro de ejercicios mate discreta

COLECCIÓN DE EJERCICIOS
DE
MATEMÁTICA DISCRETA
Profesor: José M. Pacheco Castelao

Aplicación: Un heptadecágono regular

ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA DE LA ULPGC
Curso 2011-2012

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Índice
Parte 1: Ejercicios de Combinatoria…3
Algunos ejemplos más prácticos…6
Más ejercicios de Combinatoria, Inducción, etc….7
Aún más ejercicios…8
Y todavía algunos ejemplos más…9
Parte 2: Ejercicios deAritmática…10
He aquí otros ejercicios más…12
Otros ejercicios de Aritmética…12
Parte 3: Ejercicios de Conjuntos y Lógica…14
Otro par de ejercicios…15
Más ejercicios de Conjuntos…16
Algunos ejercicios de Lógica…17
Un modelo, resuelto, de preparación del examen final…18
Más ejercicios pre-examen, I…21
Más ejercicios pre-examen, II…22

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Parte 1: EJERCICIOS DE COMBINATORIA
Lean y estudien el siguienteejercicio de examen (Septiembre de 2008)
Habitualmente las caras de los dados de juego están numeradas de 1 á 6, de manera que
la suma de los números que se hallan en caras opuestas es 7. Sin embargo, en este
ejercicio las preguntas se refieren a dados que no cumplen esa condición Se pregunta,
cuántos dados pueden existir de modo que:
a) (2 puntos) Sólo un par de caras opuestas sume 7.
b) (1 punto)Con sólo dos pares de caras que sumen 7.
c) (1 punto) Sin ningún par de caras opuestas que sumen 7.
Solución
Este ejercicio admite varias interpretaciones. Sin embargo, en todas ellas la cuestión b)
tiene siempre contestación negativa: Si se han fijado dos pares de caras opuestas con
suma 7, el par restante también sumará 7. Queda, por tanto, contestar a las cuestiones a)
y c).
a) Supongamos quehemos fijado un par de caras (arriba y abajo) cuyos números sumen
7, lo cual podemos hacer de tres maneras: (1,6), (2,5) y (3,4). No habrá más pares de
caras que sumen 7 si en las caras laterales del dado aparecen contiguos dos números que
sumen 7. Por ejemplo, si elegimos el par (1,6) para empezar, bastará con saber que 3 y 4
no se hallan enfrentados en los laterales del dado. Esto puede ocurrirde cuatro maneras
diferentes: Si la tabla siguiente representa las caras laterales:
3425
seleccionemos las dos primeras posiciones para el 3 y el 4 (hay dos formas: 3-4 y 4-3),
así que quedan las otras dos para el 5 y el 2 (en las versiones 2-5 y 5-2). Por tanto, hay
cuatro formas de tener un dado con sólo un par de caras (1,6) que suman 7. Como
podemos cambiar (1,6) por (2,5) y (3,4), aplicando laregla fundamental de la
Combinatoria, hasta ahora habrá en total 12 tipos de dados con sólo un par de caras
opuestas que sumen 7. Además, dado que el par (1,6) puede aparecer como 1-6 y 6-1,
tendremos en total 24 tipos de dados con sólo un par de caras opuestas que sumen 7.
c) Usemos el mismo argumento que en el caso a). Elijamos una cara, p. ej. la 1, y
hagamos que su opuesta no sea sucomplementaria a 7 (en el ejemplo, que no sea 6).
Eso puede hacerse de 4 maneras diferentes. Para las cuatro caras laterales queda una
pareja que suma 7 y otra que no (en el ejemplo, si tomamos (1,2) para empezar, son
(3,4) y (5,6) respectivamente). Pero ya sabemos que hay cuatro modos de conseguir que
la pareja que suma 7 no se halle enfrentada. Por tanto, según el principio fundamental
de la combinatoriahabrá 32 tipos de dados en los que no hay pares de caras opuestas
que sumen 7.
NOTA 1: Si consideramos que (3,4) es lo mismo que (4,3), etc., el ejercicio se reducirá a estudiar un dado
coloreado con tres colores, correspondientes a los pares (1,6), (2,5) y (3,4) y estudiar la distribución cromática. Por
supuesto, es más fácil y salen números diferentes.
NOTA 2: Aún hay más interpretacionesválidas para el ejercicio…

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Otro ejercicio de examen (Enero de 2008)
Un sudoku de 16 cuadros es un esquema como el siguiente, donde en cada
columna, fila y cuadrado aparece una y sólo una vez cada una de las cifras 1, 2, 3, 4:

Calcule razonadamente el número total de sudokus posibles de 16 cuadros.
Solución.
a) Comenzamos eligiendo la primera fila, que es una permutación de los cuatro
elementos...