Libro Funciones Especiales JMRS

MATERIAL DIDÁCTICO
FUNCIONES ESPECIALES Y
TRANSFORMADAS INTEGRALES CON
APLICACIONES A LA MECÁNICA
CUÁNTICA Y ELECTRODINÁMICA
AUTOR:
Dr. Juan Manuel Romero Sanpedro
Departamento de Matemáticas
Aplicadas y Sistemas
IBSN: 978-607-28-0038-0

Octubre 2013

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UNIVERSIDAD AUTONOMA
METROPOLITANA
UNIDAD CUAJIMALPA
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
APLICADAS Y SISTEMAS

FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMADASINTEGRALES
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CON APLICACIONES A LA MECANICA
CUANTICA
Y
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ELECTRODINAMICA

JUAN MANUEL ROMERO SANPEDRO
jromero@correo.cua.uam.mx

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´Indice general
0.1. Introducci´on

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1. La Convenci´
on de Suma de Einstein, el Tensor de Levi-Civita
y las Ecuaciones de Maxwell
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Producto escalar y la delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . .
1.3. Producto vectorial y el tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . .
1.4. El tensor de Levi-Civita y las matrices . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. El tensor de Levi-Civita y las matrices antisim´etricas . .
1.4.2. El tensor de Levi-Civita y las matrices sim´etricas . . . .
1.4.3. Conservaci´on de carga . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
1.5. Triple producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Aplicaciones del triple producto escalar . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Energ´ıa cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Conservaci´on de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Contracci´on de dos tensores de Levi-Civita . . . . . . . . . . . .
1.8. Tripleproducto vectorial I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Conservaci´on del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1. Conservaci´on del momento angular . . . . . . . . . . . .
1.10. Triple producto vectorial II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1. Ecuaci´on de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11. Libertad de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
1.12. Representaci´on compleja de las ecuaciones de Maxwell . . . . .
1.13. Otros resultados de c´alculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Operadores en Coordenadas Curvil´ıneas
2.1. Interpretaci´on geom´etrica de operaciones vectoriales
2.2. Operadores en coordenadas cartesianas . . . . . . .
2.2.1.Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . .
2.3. Coordenadas curvil´ıneas ortogonales . . . . . . . . .

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2.3.1. Gradiente en coordenadas curvil´ıneas .
2.3.2. Divergencia en coordenadas curvil´ıneas
2.3.3. Laplaciano en coordenadas curvil´ıneas2.3.4. Rotacional en coordenadas curvil´ıneas
2.4. Operador momento angular . . . . . . . . . .

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3. El Factorial y la Funci´
on Gamma
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3.1. Funci´on Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Repaso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
4.1. Teorema deexistencia y unicidad . . . . . . . .
4.2. El Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Los ceros de las soluciones . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Forma normal . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Teorema de comparaci´on de Sturm . . . . . . .
4.6. Problema de Sturm-Liuoville . . . . . . . . . . .

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5. Funciones de Bessel
5.1. Ecuaci´on de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Funci´on generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Funciones de Bessel de orden n + 12 . . . . . . . .
5.5....