LibroLineal2009_Capitulo_2

Capítulo 2

Aplicaciones

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ÁLGEBRA LINEAL EN CONTEXTO
JOSÉ ARTURO BARRETO GUTIÉRREZ

CAPITULO 2.
MATRICES PARTICIONADAS. MATRICES ELEMENTALES. DESCOMPOSICION LU.
OBJETIVOS:
Al terminar este capítulo el estudiante estará en capacidad de:
1. Aplicar el concepto de matrizparticionada para reducir un problema en varios problemas, relacionados, de
menor dimensión.
2. Descomponer una matriz A en un producto LU o PTLU, donde P es una matriz de permutación.
3. Utilizar la descomposición LU en diferentes contextos

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Capítulo 2

Aplicaciones

2.1. PARTICION DE UNA MATRIZ. OPERACIONES ENTRE MATRICESPARTICIONADAS.
DEFINICION: Dada una matriz A de dimensión mxn, se dice que la matriz C es una SUBMATRIZ de A si C
se puede obtener de A al suprimir (en A) algunas filas y (o) columnas. Se considera que A es una submatriz
de si misma.
(1.2) EJEMPLO: Si en

A=

1

2

3

4

5

6 7

8

1

1 1

1

eliminamos la segunda columna, obtenemos la submatriz

C1 =

1

3

4

5

7

8

1

1

1

Otras submatrices son:
12

4

5

6

8

C2 =

(obtenida de A al eliminar la tercera fila y la tercera columna)

C3 =

(1

3

4)

(obtenida de A al eliminar las filas segunda y tercera y la segunda columna).

Podemos considerar a la matriz A
1

5

9

7

6

2

6

0

9

8

3

7

3

2

0

4

8

5

4

1

A =

PARTICIONADA por bloques como

A =

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1
5
9 l 7
6
2
6
0 l 9
8
3
7
3 l 2
0----------------------------l---------------

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Capítulo 2

Aplicaciones
4

8

A11

A12

A21

A22

5

l

4

1

O sea que

A =
En donde
1

5

9

A11 = 2

6

0

3

7

3

(4

1)

A22 =

,

A12 =

7

6

9

8

2

0

-1

4

, A21 = ( 4

8

5),

Son submatrices de A
3
Si

2

l
l -3
5
l
6
-2
-5 l 1
4
----------------------------l------------------3
1
2 l 1
2

1
B =

4

2

3

esdecir, la matriz B ha sido particionada como
B11

B12

B21

B22

B =

Entonces

(1.2)

A+B

A11 + B11

A12 + B12

A21 + B21

A22 + B22

=

En consecuencia :
Si las matrices A y B han sido particionadas como

(1.3)

A =

A11

A12.

.

.

A1n

A21

A22.

.

.

A2n

Am1

Am2.

.

.

Amn

B11

B12.

.

.

B1n

B21
Bm1

B22. .
Bm2. .

.
.

B2n
Bmn

Ai j

+

Y

(1.4)

B =

En donde cada suma de matrices
Bij

Está definida, podemos afirmar que

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(1.5)

Aplicaciones

A+B =

A11 + B11

A12 + B12 . . . + A1n + B1n

A21 + B21

A22 + B22 . . . + A2n + B2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am2 + Bm2 . . .+ Amn + Bmn

.

Am1

.
.
+ Bm1

Las matrices de 1.3 y 1.4 como matrices particionadas son de dimensión mxn.
Diremos que la DIMENSIONPARTICIONADA de A y B es mxn.
La dimensión de las matrices A y B de 1.3 y 1.4 es mayor que mxn a no ser que las submatrices Ai j sean
de orden 1 (es decir a no ser que las matrices esten PARTICIONADAS EN SUS ELEMENTOS).
En 1.5 hemos expresado en símbolos el siguiente teorema:
TEOREMA : Dos matrices de igual dimensión particionadas se pueden sumar (restar) como si las submatrices
fuesen elementosordinarios, siempre y cuando las matrices estén particionadas de tal manera que sea
posible efectuar las adiciones (sustracciones) de las submatrices.
Si la matriz A está particionada como
1

2 l 5
l
3
4 l 6
------------- --l------7
8 l 9

A =

O sea
(1.7)

A11

A12

A21

A22

A =

Puede verificarse que para todo número real λ

(1.8)

λ
3λ
7λ

A =

2λ
4λ
8λ

5λ
6λ
9λ

λ A11

λ A12

λ A21

λ A22

=

Laigualdad (1.8) es un caso particular del siguiente teorema:
(1.9).

TEOREMA:

Si la matriz A está particionada como

A =

A11

A12.

.

.

A1n

A21

A22.

.

.

A2n

Am1

Am2.

.

.

Amn

entonces, para todo número real λ

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Aplicaciones
λ A11

y
λA =

λ A12.

.

. λ A1n

λ A21 λ A22 .
.
.
λ Am1 λ Am2.

.

. λ...