Lic. en Operaciones Marítimas y Portuarias

1. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

1.1 INTEGRACIÓN POR PARTE

Se define como una doble sustitución. Este método se basa en la integración de la formula de la derivada del producto de dos funciones.

Sí u = f(x) y v = g(x); son funciones diferenciales entonces

d (uv) = u dv + vdu

y despejando udv queda

u dv = d (uv) – vdu

e integrando

∫ u dv = uv - ∫ v du

quees la formula del metodo de integración por parte.

La elección de quien es u y quien dv en el integrando es arbitraria, puede evaluarse más fácilmente el segunda integral que la primera.
Cuando se eligen las sustitución para u y dv por lo general se considera que dv es el factor más complejo del integrando y puede integrase directamente, y que u es una función cuya derivada es una función mássimple.

Ejemplo 1:

∫ x ln x dx

Procedimiento
u = ln x ∫ dv = ∫ xdx

du = dx /x v = ∫ x2/ 2


usando, ∫u dv = uv - ∫ v du


tenemos:

∫ x ln xdx = x2 / 2 ln x - ∫ x2/ 2 * dx /x∫ x ln xdx = x2 / 2 ln x – x2 / 4 + c



Ejemplo 2:

∫ x e 2x dx

Procedimiento
u = x ∫ dv = ∫ e 2x dx

du = dx v = ½ e 2x


usando, ∫u dv = uv - ∫ v du


tenemos:

∫ x e2x dx = ½ e 2x - ∫ ½ e 2x dx


∫ x e2x dx = ½ e 2x - ¼ e 2x+ c



Ejemplo3:

∫ x2 cos x dx

Procedimiento
u = x2 ∫ dv = ∫ cos x dx


du = 2 x dx v = sen x


usando, ∫u dv = uv - ∫ v du

tenemos:

∫ x2 cos x dx = x2 sen x - ∫ sen x (2 x dx)


∫ x2 cos x dx = x2 sen x - 2 ∫ x sen x dx




Hay que aplicar otra vez la integración por parte paracalcular ∫ x sen x dx

u = x ∫ dv = ∫ sen x dx

du = dx v = - cos x

usando, ∫u dv = uv - ∫ v du

tenemos:
∫ x sen x dx = - x cos x - ∫ - cos x dx

∫ x sen x dx = - x cos x + sen x + c


sustituyendo en la original tenemos:

∫ x2 cos x dx = x2 sen x + 2 x cos x – 2 sen x + c


Ejemplo 4:∫ x sec 2 x dx

Procedimiento
u = x ∫ dv = ∫ sec 2 x dx

du = dx v = tan x

usando, ∫u dv = uv - ∫ v du

tenemos:

∫ x sec 2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫ x sec 2 x dx = x tan x – ln │sec x │ + c


Ejemplo 5:

∫ tan-1 x dx

Procedimiento
u = tan –1∫ dv = ∫ dx

du = dx / 1 + x2 v = x
usando, ∫u dv = uv - ∫ v du

tenemos:

∫ tan-1 x dx = x tan-1 x - ∫ x dx/ 1 + x2

∫ tan-1 x dx = x tan-1 x – ½ ln (1 + x2) + c





1.2 INTEGRALES DE POTENCIA TRIGONOMETRICA

Se define como la implicación de unaoperación sobre una función trigonométrica. Mediante la aplicación de la formulas e identidades trigonométrica para evaluar integrales que contiene productos de potencia de función trigonométrica.

Caso 1:

(i) ∫ sen n x dx ó

(ii) ∫ cos n x dx

Donde n es un número entero positivo impar.


Ejemplo 1 (i):

∫ Sen5x dx


∫ Sen5 x dx = (sen2 x)2 sen x dx
= (1 - cos2 x)2 sen x dx
= (1 – 2 cos2 + cos4 x)2 sen x dx
= ∫ sen x dx – 2 ∫ cos x sen x dx + ∫ cos4 x sen x dx


usando

u = cos x
du = - sen x dx

∫ Sen5 x dx = - cos x + 2 ∫ cos2 x (-sen x dx) - ∫ cos4 x (-sen x dx)
= - cos x +2/3...