licenciado en matematicas

EXAMEN FINAL GRUPAL
PROBLEMAS DEL CONTINUO
Presentado por:
CARLOS QUINTERO
ESTEBAN LEAL
MICHAEL MARTINEZ
LUISA TORRES

1. A partir de la siguiente suma infinita:

a. ¿x representa un número real?
b. ¿x representa un número racional o uno irracional?
Rta b) Teniendo en cuenta que n debe ser un número natural para que pueda ser factorial, entonces denominamos que 10 siempre estaráelevado a un natural, por lo que podemos asegurar que el denominador de la fracción siempre serán múltiplos de 10, es decir números naturales, por el otro lado el numerador siempre se mantendrá como 1, entonces por definición de numero racional si tengo entonces es un número racional.

Habiendo dicho lo anterior ahora vamos a mirar si la sumatoria nos da un número racional o irracional.
Sabemosque el término que se va a sumar es cada vez más pequeño, es de la forma pero cada término que se suma tiene en el numerador y en el denominador dos números naturales por lo que son racionales, y por la propiedad de los racionales, si sumo dos números racionales me da como resultado otro número racional, y como lo que tengo es una sumatoria de infinitos números racionales entonces el resultadotambién será un numero racional; por lo tanto x
Rta a) x es un número racional y todo número racional es también un número real, por lo tanto .

2. Dado el conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 = 𝑎 + 𝑏√2; 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ, 0 < 𝑎 < 1, 1 < 𝑏 < 3}.

Decimos que como a y b son números racionales y tenemos √2 que es un irracional, por lo tanto x es igual a , por propiedad de los números irracionales sabemos que elproducto de un irracional con un racional nos da como resultado otro irracional por lo tanto .
También por propiedad de los números irracionales si sumamos un con esto sabemos que todos los términos del conjunto A son irracionales.
Para determinar el cardinal de A vamos a decir que los elementos de A son irracionales. Pero los elementos están acotados tanto entre 0 y 1 como en 1 y 3… por lo tantovamos a demostrar que entre dos números naturales siempre existirá un número irracional.
Pero como todo número natural se puede además copiar como un número racional, lo que necesitamos es encontrar la cantidad de números irracionales que existen entre dos números racionales

Dado que a se encuentra en el intervalo (0,1)
Entonces creamos una sucesión que se encuentre en ese intervaloAnálogamente se realiza lo mismo con b al encontrarse en el intervalo (1,3), entonces:


Entonces se pueden esta que

Ahora se pueden establecer infinitas combinaciones de , pues en el intervalo es infinito numerable, y serán te todos los múltiplos de raíz de dos, por lo cual decimos que el conjunto es infinito numerable, ahora se crea la sucesión. Teniendo en cuenta que b=Ahora todos los términos de estarán dados por
Ahora vamos a demostrar que 6 el supremo de esto con fin de demostrar si el conjunto es completo, puesto que un conjunto es denso si esta acotado superiormente y es denso




Por lo cual es conjunto estará acotado superiormente, ahora vamos a demostrar que es denso
Lo que sucede con el conjunto es que todos sus elementosestán dados de la forma =P y ese p pertenecerá a los irracionales por lo cual se pueden crear infinitas sucesiones perteneciente al conjunto A que convergen a un punto =P por lo que todos los punto serán punto de acumulación.



de igual manera por aproximación a irracionales, por lo cual decimo que el conjunto es denso en si mismo, y que todos sus términos son puntosde acumulación.

3. Discuta sobre la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Todo número real se puede representar como el punto de convergencia de una sucesión de números racionales.
Para abordar este punto lo vamos a su poner que:




Ahora vamos es irracional si
A no tiene máximo en B
B no tiene mínimo
Ahora vamos a demostrar que ha no tiene máximo por...