LICENCIADO MATEMATICAS

C´alculo III

Lapso I-2011

Repaso de Integraci´on
´
´
TECNICAS
DE INTEGRACION
Integrales B´asicas
xn+1
+C
1) xn dx =
n+1
dx
2)
= ln |x| + C
x
3) e x dx = e x + C
4)

ax
a dx =
+C
ln(a)

5)

sen(x)dx = −cos(x) + C

6)

cos(x)dx = sen(x) + C

7)

sec2 (x)dx = tan(x) + C

8)

csc2 (x)dx = −cot(x) + C

x

(n

9)

sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C

10)csc(x)cot(x)dx = −csc(x) + C

11)

senh(x)dx = cosh(x) + C

12)

cosh(x)dx = senh(x) + C

13)

tan(x)dx = − ln |cos(x)| + C = ln |sec(x)| + C

14)

cot(x)dx = ln |sen(x)| + C

−1)

15)
16)

1
1
dx = tan−1
a
x 2 + a2
1
dx = sen−1
√
2
x − a2

x
+C
a
x
+C
a

Las siguientes t´ecnicas pretenden transformar la integral en otra m´as sencilla.

Regla deSustituci´on (RS)

Esta regla corresponde a la regla de la cadena, la cual se aplica a las composiciones de funciones, RS se puede
aplicar cuando la integral tiene la forma:
f (g(x))g(x) dx =

f (u)du

El truco est´a en tomar como u la funci´on interna en la composici´on de funciones y esperar que al derivar u lo que
sobre del integrando sea justamente la derivada de u.
Ejemplo:
Determinarxsen(x2 )dx

Soluci´on:
Notemos que la composici´on de funciones del integrando es: sen(x2 )
Hagamos
u = x2 ⇒ du = 2xdx Derivando
Observemos que lo sobrante en el integrando es: xdx, podemos despejarlo de la derivada de u, veamos
du = 2xdx ⇒

du
= xdx
2

Entonces

Alexis Mendoza

Secciones 3410 y 3411

1

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Lapso I-2011

Super Sencilla
Haciendo u = x2
2xsen(x )dx =

2

sen(x )xdx

=

du 1
sen(u)
=
2
2

1
sen(u)du = (−cos(u))+C
2

Devolviendo u = x2

=

1
− cos(x2 )+C
2

Por lo tanto,
1
xsen(x2 )dx = − cos(x2 ) + C
2
Ejemplo:
cot(3 + ln(x))
dx
x

Determinar
Soluci´on:
Hagamos

u = 3 + ln(x) ⇒ du =

dx
Derivando
x

Luego

cot(3 + ln(x))
dx
x

Reacomodando

=

cot(3 + ln(x))

dx
x

sustituyendou y du

=

cot(u)du = ln|sen(u)| + C

Por lo tanto,
cot(3 + ln(x))
dx = ln|sen(3 + ln(x))| + C
x

Integraci´on por Partes (IpP)

Esta regla corresponde a la regla de derivaci´on de un producto y se puede aplicar cuando la integral tiene la forma:
f (x)g(x)dx
Se llama integraci´on por partes porque el integrando se divide en dos partes y adem´as se realizan dos integraciones,recordemos que en la regla de la derivada de un producto se hacen dos derivaciones.

A una parte se le llama u de la cual se puede obtener du y a la otra se le llama dv de la que deberiamos obtener v.
Lo que nos indica que las selecciones deben realizarse de manera que u sea una funci´on f´acil de derivar y dv sea una
integral sencilla. La t´ecnica se puede resumir seg´un la siguiente formula:
udv= uv −

Alexis Mendoza

vdu

Secciones 3410 y 3411

2

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Lapso I-2011

Ejemplo:
Determinar

xsen(x)dx

Soluci´on:
Hagamos
u = x ⇒ du = dx Derivando
dv = sen(x)dx ⇒ v = −cos(x) Integrando
Luego, utilizando la formula
udv = uv −

vdu

tenemos
u

dv

x

sen(x)dx

v

u

=

du

v

( x )(−cos(x)) −

−cos(x) dx
S encilla

=

−xcos(x) +cos(x)dx

=

−xcos(x) + sen(x) + C

Observaci´on:
(Escribir sobre el otro cambio)
Ejemplo:
Determinar

ln(x)dx

Soluci´on:
No hay m´as nada que hacer
dx
u = ln(x) ⇒ du =
Derivando
x
dv = dx ⇒ v = x

Integrando

Luego,
u

dv

ln(x) dx

u

=

v

( ln(x) )( x ) −

v

✁x

du

dx
✁x

S encilla

=

xln(x) +

dx

=

xln(x) + x + C

AlexisMendoza

Secciones 3410 y 3411

3

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Ejemplo:
Determinar

e x sen(x)dx

Soluci´on:
Hagamos
u = sen(x) ⇒ du = cos(x)dx Derivando
dv = e x dx ⇒ v = e x Integrando
Luego,
Parecida

e x sen(x)dx

=

e x cos(x)dx

sen(x)e x −

Notemos que la integral resultante, es parecida a la original, es decir, no es m´as f´acil, pero tampoco es m´as dificil....