Licenciatura en educacion Primaria

Distribuciones discretas de
probabilidad.
por Guillermo Sánchez
http://web.usal.es/guillermo
Universidad de Salamanca
http://www.usal.es
Actualizado : Corresponde a un tutorial desarrollado por el autor en el año 2000 con la v 4 de Mathematica, lo único que se ha
hecho es volverlo a ejecutar con la versión 8 de Mathematica.

Introducción
En esta práctica se introduce al uso dedistribuciones discretas de mayor empleo en Control Estadistico
de Calidad (CEC).
Recordemos que una distribución de probabilidad es un modelo matemático que relaciona el valor
de la variable con la probabilidad de ocurrencia de dicho valor en la población considerada P{x = xi } =
p(xi ). Cuando el parametro medido puede tomar solo ciertos valores, tales como enteros, la distribución se llamadistribución discreta.
Ejemplo 1.- Sea una variable aleatoria X que toma los valores 1,2,3,.,i,..,k con probabilidades 1/k . En este caso xi =1, .., k y pi = 1/k.
Vamos a calcular la media y la varianza. La media podemos calcularla facilmente recordando que la corresponde a la esperanza
matematica E[X] = k [xi pi ] = 1/k k [ i ], vamos a llamar E[X] = esperanza[X]
1
1

1

esperanzak_ :

kpor tanto

 i Media
k

i1

esperanzak
1k
2

Para calcular la varianza recordamos que VX  EX2   EX2 . Llamamos a V[X] = varianza[X].
Previamente hemos de calcular EX2 , que esta dado por (llamamos EX2 = esperanzacuadrado):
1

esperanzacuadradok_ :

k

esperanzacuadradok
1
6

 i2
k

i1

1  k 1  2 k

Por tanto VX  EX2   EX2es

varianzak_ : esperanzacuadradok  esperanzak2

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2 | DistribucionesDiscretas.nb

Guillermo Sánchez

Simplifyvarianzak
1
12

 1  k2 

Ahora podemos facilmente aplicar los resultados anteriores para calcular la media y varianza de cuaquier valor,
por ejemplo para k= 30
esperanza30
31
2

varianza30
899
12

Las distribución discretamas utilizadas en CEC son la Hipergeométrica, Binomial, y Poisson que veremos a
continuación

Binomial e Hipergeométrica
Una variable aleatoria, X, se dice binomial si toma esclusivamente dos valores (1, 0) con probabilidades p y 1-p.
Casos de este tipo aparecen frecuentemente en el mundo real. Por ejemplo: Una maquina puede producir piezas no
defectuosas con una probabilidad p y defectuosascon una probabilidad 1 - p, una llamada telefonica puede
encontrar la linea libre u ocupada, etc.
La función de probabilidad que representa estos fenomenos es la binomial, que denotaremos por B(n, p) cuando
es con reemplazamiento y la hipergeométrica, que denotaremos por H(D,n,x) sin reemplazamiento. No obstante
puede utilizarse la binomial, que es de mas facil aplicación , en vez de lahipergeometricaa, aún en casos sin
reemplazamiento, si la población n es muy numera comparada con el tamaño de la muestra.
El Mathematica dispone de un paquete donde está incorporada la binomial e hipergeometrica. Sin embargo
inicialmente se van a utilizar comandos más básicos que están en el "kernel"(nucleo, programa principal sin cargar
paquetes) con el objeto de que en el futuro el alumno puedallegar a construir sus propios paquetes. En lo que
sigue de este apdo se recomienda utilizar, entre otros, los comandos Sum (sumatorio) y Binomial[a,b] (que
a
representa en el Mathematica 2 el coef. binomial ).
b

La función de probabilidad es B(n, x,p) =Binomial[n,x] px (1 - p)
escribirse

nx

que en notación del Mathematica puede

Bn_, x_, p_ : Binomialn, x px 1  pnxEjemplo 2.-De un lote muy grande de piezas se toman al azar 25, la población se rechaza si aparecen dos o mas piezas
defectuosas. Calcular la probabilidad de aceptar el lote sabiendo que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es p = 0.01.

En el ejercicio propuesto la probabilidad de aceptación será = probabilidad de que no haya ninguna pieza defectuosa + probabilidad de que haya una...