limite de funciones

CAP´
ITULO III.
L´
IMITES DE
FUNCIONES

SECCIONES
A. Definici´n de l´
o
ımite y propiedades b´sicas.
a
B. Infinit´simos. Infinit´simos equivalentes.
e
e
C. L´
ımites infinitos. As´
ıntotas.
D. Ejercicios propuestos.

85

´
´
A. DEFINICION DE L´
IMITE Y PROPIEDADES BASICAS.

Un n´mero real L se dice l´
u
ımite de una funci´n y = f (x) en un punto x = c
o
si los valoresde la funci´n se van acercando a L cuando x toma valores cada
o
vez m´s pr´ximos a c. Simb´licamente se expresa por:
a
o
o
l´ f (x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |f (x) − L| < ε si 0 < |x − c| < δ.
ım

x→c

Debemos tener en cuenta que no importa en este caso el comportamiento
de la funci´n en el punto c; puede incluso no estar en el dominio. Lo que
o
s´ debe ocurrir es que todos lospuntos pr´ximos a c est´n en el dominio y
ı
o
e
sus im´genes est´n cada vez m´s cerca de L.
a
e
a
An´logamente, se dice que una funci´n f tiene l´
a
o
ımite infinito en x = c, y se
escribe como l´ f (x) = ∞, cuando
ım
x→c

∀M > 0, ∃δ > 0 tal que f (x) > M si 0 < |x − c| < δ.
Si unicamente interesa aproximarse a c por la derecha de ´l (es decir, para
´
e
valores mayores que c), sehablar´ de l´
a
ımite lateral por la derecha, y an´logaa
mente de l´
ımite lateral por la izquierda (para valores x < c). Las notaciones
que se usar´n son las de l´ f (x) y l´ f (x), respectivamente.
a
ım
ım
x→c−

x→c+

Un caso particular de l´
ımites laterales son los l´
ımites al infinito, es decir los
casos en que x = ±∞. As´ decimos que l´ f (x) = L, cuando
ı
ım
x→∞

∀ε >0, ∃k > 0 tal que |f (x) − L| < ε si x > k.
Los l´
ımites conservan las operaciones b´sicas de funciones siempre que dichas
a
operaciones sean posibles en el punto donde se est´ calculando el l´
a
ımite.

PROBLEMA 3.1.

Calcular l´ 3(2x − 1)(x + 1)2 .
ım
x→2

Soluci´n
o

Basta sustituir el punto x = 2 en la funci´n. Resulta que
o
l´ 3(2x − 1)(x + 1)2 = 3(4 − 1)(3)2 = 81.
ımx→2

86

PROBLEMA 3.2.
3(2x − 1)
.
x→−1 (x + 1)2

Calcular l´
ım
Soluci´n
o

Al intentar sustituir en la funci´n el punto x = −1, se anula el denominador.
o
Esto quiere decir que cuanto m´s nos aproximamos a −1, m´s grande es el
a
a
cociente. Por eso el l´
ımite es infinito (∞).

PROBLEMA 3.3.
x2 + x − 2
.
x→−2
x2 − 4

Calcular l´
ım

Soluci´n
o

La situaci´n esparecida al problema anterior. Sin embargo el numerador
o
tambi´n se anula en x = −2.
e
No podemos asegurar que el cociente se hace m´s grande cuando x se acerca a
a
−2. Pero si factorizamos numerador y denominador, podemos escribir
x2 + x − 2
(x + 2)(x − 1)
x−1
−3
= l´
ım
= l´
ım
=
= 3/4.
2−4
x→−2
x→−2 (x + 2)(x − 2)
x→−2 x − 2
x
−4
l´
ım

PROBLEMA 3.4.
√

Calcular l´ım

x→2

√
x + 2 − 2x
.
x−2

87

Soluci´n
o
Tambi´n la situaci´n es similar pero antes de factorizar debemos eliminar
e
o
las ra´
ıces del numerador, es decir, debemos racionalizar. Nos queda:
√
√
√
√
( x + 2 − 2x)( x + 2 + 2x)
(x + 2) − 2x
√
√
L = l´
ım
= l´
ım
√
√
x→2
x→2 (x − 2)( x + 2 + 2x)
(x − 2)( x + 2 + 2x)
−x + 2
−1
√
= l´
ım
=
= −1/4.
√
x→2 (x− 2)( x + 2 + 2x)
2+2

PROBLEMA 3.5.

Resolver l´ ([x] − x).
ım
x→4

Soluci´n
o

Como la funci´n parte entera es escalonada, puede tomar diferentes valores
o
a la derecha y a la izquierda del punto x = 4. Debemos calcular los l´
ımites
laterales separadamente.
l´ ([x] − x) =
ım

x→4−

l´ ([x] − x) =
ım

x→4+

l´ (3 − x) = 3 − 4 = −1.
ım

x→4−

l´ (4 − x) = 4 − 4 =0.
ım

x→4+

Al ser distintos los l´
ımites laterales en x = 4, no existe el l´
ımite de la funci´n
o
en el punto.

PROBLEMA 3.6.
x2 − 2x
.
x→2 x2 − 4x + 4

Calcular l´
ım

Soluci´n
o

Como el numerador y denominador tienden a cero, debemos factorizar ambos
y simplificar. Tenemos:
(x − 2)x
x
= l´
ım
= ∞.
x→2 (x − 2)(x − 2)
x→2 x − 2

L = l´
ım

88

PROBLEMA...