Limite de una funcion

Límite de una función
Idea intuitiva de límite
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes
(las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden
las imágenes cuando los originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

x

f(x)

1,9

3,61

1,993,9601

1,999

3,996001

...

...

↓

↓

2

4

x

f(x)

2,1

4.41

2,01

4,0401

2,001

4,004001

...

...

↓

↓

2

4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha
(valores mayores que 2) las imágenes se acercan a 4.
Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x2 es 4

𝐒𝐞 𝐞𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐞 𝐥𝐢𝐦 𝒙 𝟐 = 𝟒
𝒙→𝟐1

Def. de límite de una función en un punto
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x0, si
fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente
de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| <
δ , se cumple que |f(x) - L| 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a+δ, a ) ,entonces |f (x) - L| 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| 0 )se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = ∞

∀𝑲 ∈ 𝑹+∃𝜹 = 𝜹 𝑲 > 𝟎/

𝟎< 𝒙 − 𝒂 < 𝜹

𝒇 𝒙 > 𝒌

Ejemplo:

4

Límite menos infinito
Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x
a, si fijado un número real negativo K
< 0 se verifica que f(x) < k para todos losvalores próximos a a.

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = −∞

∀𝑲 ∈ 𝑹−∃𝜹 = 𝜹 𝑲 > 𝟎/

𝟎< 𝒙 − 𝒂 < 𝜹

𝒇 𝒙 < 𝒌

Ejemplo:

Límites en el infinito
Límite cuando x tiende a infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito
5

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:
Ejemplo:
6

Asíntotas
Asíntotas horizontales
Si se cumple que

Es una asíntota horizontal

Ejemplo
Calcular las asíntotas horizontales de lafunción:

Asíntotas verticales
7

Asíntotas verticales
Si se cumple que
Es una asíntota vertical

Los valores de K hay que buscarlos entre los puntos que no pertenecen al dominio de
la función
Ejemplo
Calcular las asíntotas horizontales y verticales de la función:

8

Asíntotas oblicuas
Tienen la forma

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.Ejemplo
Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales

No hay asíntotas horizontales
Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

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Ramas parabólicas
Las ramas parabólicas se estudian sólo si:

Rama parabólica en la dirección del eje OY
Se dice que f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando:

Esto quiere decir que la gráfica se comporta comouna parábola de eje vertical.
Ejemplo
Estudiar las ramas parabólicas de la función:

Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY.
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Rama parabólica en la dirección del eje OX
Se dice que f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX cuando:

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje horizontal.
Ejemplo
Estudiar las ramas parabólicas de lafunción:

Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX.

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Propiedades de los límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de un logaritmo

Operaciones con infinito: Indeterminaciones
Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito

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Infinito porun número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

Cero partido por infinito

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

13

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un número...