limite de una funcion




Limite de una función

Cristofher Uriel almendrasosa

16/05/2014

calculo




Centro de estudios tecnológicos del mar 01.

Calculo.

Limite de una función.




alumno

Semestre: grupo:


Administración de recursos humanos.


16 de mayo del 2014.















El límite de una función es un concepto fundamental del análisismatemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.1 Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresadola esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.2 La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 18603 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
Noción de límite de una función

Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como sequiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a. En términos matemáticos, se expresa como:

Dado el punto a, y según la anterior definición, existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x > a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda). En cada caso se obtienen valores denominados límite por la derecha (x®a+) y límite por la izquierda (x®a-). Pordefinición, para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Ello se expresa como:




Propiedades de los límites
Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades:

El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites.El límite de la diferencia se calcula como la diferencia de los límites.
El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.
El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.
El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la multiplicaciónde la constante por el límite de la función.
Estas propiedades se expresan matemáticamente como sigue:


Asíntotas verticales y horizontales

Si una función f(x) crece indefinidamente cuando el valor de la variable x tiende a a, se dice que su límite es infinito (+¥, si el crecimiento es en sentido positivo, y -¥, si lo es en sentido negativo). Análogamente, también es posible definir límitesde una función cuando el valor de x tiende a +¥ o a -¥.

Entonces, se dice que una función f (x) tiene por asíntota vertical la recta cuya ecuación es x = a, cuando al menos existe uno de los límites laterales de la función en el punto a y dicho límite es +¥ o -¥.

De igual forma, la función f (x) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y == b, cuando existe al menos uno de loslímites de la función en el caso de que x tienda a +¥ o -¥ y dicho límite sea b.


Asíntotas horizontales de una función.


Asíntotas verticales de una función.

Resolución de indeterminaciones

Para calcular el límite de una función complicada suelen aplicarse las propiedades generales de los límites. Sin embargo, en ocasiones no es posible recurrir simplemente a tales propiedades, porcuanto aparecen indeterminaciones que es preciso resolver. Se dice que hay una indeterminación cuando el límite de la función no se obtiene directamente de los límites de las funciones que la componen.
Las más comunes son:

Infinito entre infinito : para resolverla, si se trata de funciones polinómicas, se procede a dividir el numerador y el denominador por el término de mayor grado; cuando las...