limite y continuidad

Cap´
ıtulo 9

L´
IMITES Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES
9.1.

Introducci´n
o

El concepto de l´
ımite en Matem´ticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´n
a
o
en un determinado punto o en el infinito.
Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´n dada por la gr´fica de la figura y fij´monos en el
o
a
e
punto x = 2 situado en el eje de abscisas:

¿Qu´ ocurrecuando nos acercamos al punto 2 movi´ndonos sobre el eje x? Tomemos algunos
e
e
valores como 2’1, 2’01, 2’001.
Vemos en la figura que en este caso las im´genes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01),
a
f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y = 3.
Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso lasim´genes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´n al mismo valor, y = 3.
a
e
Concluimos que el l´
ımite de la funci´n f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´l expresamos
o
a
como:
l´ f (x) = 3
ım
x→2

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´
ımite de una funci´n en un punto es el valor en el
o
eje Oy al que se acerca la funci´n, f (x), cuando la x se acerca, en el ejeOx a dicho punto.
o
145

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ITULO 9. L´
IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

146

Sin embargo la expresi´n matem´tica rigurosa de l´
o
a
ımite es algo m´s compleja:
a
Definici´n: Dada una funci´n f (x) y un punto x = a, se dice que el l´
o
o
ımite de f (x) cuando x se acerca
a a es L, y se expresa como:
l´ f (x) = L
ım
x→a

cuando:
Dado

> 0, existe δ > 0 tal que siempreque |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| <

Lo que viene a expresar esta formulaci´n matem´tica es que si x est´ “suficientemente cerca” de
o
a
a
a, entonces su imagen f(x) tambi´n est´ muy pr´xima a L.
e
a
o

En la pr´ctica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´
a
ımites laterales, que como
recordaremos se definen de la siguiente forma:
Definici´n:
o
Se define ell´mite lateral por la derecha de a de la funci´n f (x), y se expresa como:
ı
o
l´ f (x)
ım

x→a+

al l´
ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.
De igual modo, el l´mite lateral por la izquierda de a de la funci´n f (x) se expresa como:
ı
o
l´ f (x)
ım

x→a−

y se define como el l´
ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y tomavalores menores que a.
Propiedad: Para que una funci´n f (x) tenga l´
o
ımite en x = a es necesario y suficiente que existan
ambos l´
ımites laterales y coincidan, es decir:
ım
ım
l´ f (x) = l´ f (x) = l´ f (x)
ım

x→a

x→a+

x→a−

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IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

9.2.

147

Tipos de l´
ımites

Recordaremos algunos tipos de l´
ımites que son conocidos:1. L´mites infinitos en un punto finito: En la situaci´n del dibujo, se dice que el l´
ı
o
ımite cuando x
se acerca por la derecha de a es +∞, pu´s a medida que la x se acerca a a, la funci´n se hace
e
o
cada vez mayor:
l´ f (x) = +∞
ım
x→a+

(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).
De igual modo se define el l´
ımite −∞ cuando nosacercamos a a (por la derecha o por la
izquierda).(Dibuja el que falta)

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148

Puede ocurrir que uno de los l´
ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´n
o
entre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que:
l´ f (x) = +∞
ım

x→2+

y
l´ f (x) = 2
ım

x→2−

2. L´mites finitos en elinfinito: Se dice que una funci´n tiene l´
ı
o
ımite b cuando x tiende a +∞
cuando la funci´n se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:
o
l´ f (x) = b
ım

x→∞

Gr´ficamente:
a

En este caso el l´
ımite es 2 cuando x tiende a +∞.
De igual modo se define el l´
ımite finito cuando x tiende a −∞.

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