limites de continuidad

 MATEMÁTICAS II
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO

1.- ANÁLISIS (1ª PARTE).- Límites, Continuidad, Derivadas y aplicaciones.


1.- (MODELO DE PRUEBA)
a) Conceptos de función continua en un punto y derivada de una función en un punto.
b) Estudiar, a partir de la definición, la continuidad y derivabilidad de lafunción:
en el punto de abscisa x = 0 y calcular la función derivada en su dominio de definición. Razona las respuestas.

SOLUCIÓN
a) Puede verse en los apuntes de teoría.
b) Recordemos para empezar, que la función valor absoluto se define en dos trozos:
Y por tanto, siempre que en cualquier otra función aparezca el valor absoluto, habrá que definirla a trozos. Ennuestro caso, (1)
Veamos si es continua en el punto de abscisa x = 0.

Como además f (0) = 2, concluimos que la función es continua en x = 0.
Veamos si es derivable en el punto que nos indican; para ello, estudiemos sus derivadas laterales:

Como las derivadas laterales son distintas en el punto de abscisa x = 0,
la función no es derivable en dicho punto.
En los demás puntos,a la izquierda y a la derecha del cero, la función es derivable y su derivada se obtiene derivando en (1):






2.- (JUNIO 1994)
i) Interpreta razonadamente el concepto geométrico de derivada.
ii) Como aplicación del apartado anterior y sin calcular
la expresión analítica de f(x), obtener la representación
gráfica de f ' (x) siendo la gráfica de f(x) la que puedes
ver en lafigura de al lado.
Nota: el símbolo de la gráfica, quiere
significar que la función f(x) no está definida
en x = 1.
Razona las respuestas.

SOLUCIÓN

i) Este apartado, puede verse explicado en los apuntes.
ii) La representación gráfica de la derivada f '(x), es
la que puede verse en la figura. Expliquémospor qué:
En primer lugar entre –1 y 0, la función f es una recta; la pendiente por tanto es constante y en este caso vale 2, ya que la función crece dos unidades cada vez que la variable aumenta una. Por tanto su derivada en ese intervalo, será la función constante y = 2.
Por la misma razón, en el intervalo (0,2) la derivada es la función constante y = -1 (recta decreciente, pendientenegativa; y como decrece dos unidades cada vez que la variable aumenta dos, la pendiente será –1)
Del mismo modo se explica que la derivada en el intervalo (2,3), sea la función constante y = 1.
Por último, debemos precisar que en los puntos de abscisa x = 0 y x = 2, no existe derivada puesto que las derivadas laterales son distintas (la función hace “picos”). En el punto x = 1, la función fno existe, así que dificilmente va a existir su derivada. Y en los extremos x = -1 y x = 3, no hay derivada, porque en el primero no existe derivada por la izquierda y en el segundo no existe por la derecha. Fuera del intervalo [-1, 3] no está definida la función f, por tanto no tiene sentido hablar de f’.

3.- SEPTIEMBRE 1994
Dada la función: se pide:
i) Determinar a y b, sabiendoque la función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto
de abscisa x = 1
ii) Definir una función g(x) que sea continua en x = 1 y que coincida con f (x) en el dominio de
definición de ésta. Razona las respuestas.

SOLUCIÓN
i) La función f, es una función racional (cociente de dos polinomios); para que haya discontinuidad evitable en el punto de abscisa x = 1, debeexistir el , pero no estar definida la función.
Ahora bien, para que una función racional no esté definida en un punto, debe anularse el denominador en dicho punto; en este caso por tanto, el denominador debe anularse en x = 1, para lo cual ha de ser:
1 + 2a+ b + 3 = 0  2a+ b= - 4 .
Por otra parte, si sólo fuese cero el denominador pero el numerador fuese distinto de cero,
Pero como...