Limites de funciones

Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes

Teoría de Conjuntos y Funciones
Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos y está destinado a exponer temas básicos, que se utilizarán en desarrollos posteriores y que serán fundamentales para comprender lo expuesto en ellos. Estudiaremos las operaciones:inclusión, intersección, diferencia de conjuntos, etc., y luego extenderemos esos conceptos al conjunto de los números reales donde dichas operaciones son una herramienta imprescindible para calcular el dominio de funciones reales de una variable real. 1.1. Conjunto. La noción de conjunto la aceptamos como sinónimo de las nociones usuales de colección, agrupación de objetos, etc. Los objetos de unconjunto se llaman: miembros o elementos, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”. Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos la palabra elementos del conjunto A. 1.2. Pertenencia: Lo necesario para dar un conjunto es conocer sus elementos. Estas dos palabras: conjunto y elemento, están relacionadas por la pertenencia o no de un determinadoobjeto a un determinado conjunto. Las palabras conjunto y elemento son precisadas por las siguientes reglas: a) Un conjunto X está bien definido cuando se dispone de un criterio para afirmar que cualquier objeto a, pertenece al conjunto X o si no pertenece al conjunto X. Si el objeto a pertenece al conjunto X se usa el símbolo de pertenencia “ ∈ ” escribiendo a ∈ X, el cual se lee “a pertenece a X”o “a es un elemento de X”. Si el objeto a no pertenece al conjunto X se usa el símbolo de no pertenencia “ ∉ ”, así escribimos a ∉ X, el cual se lee “a no pertenece a X” o “a no es elemento de X”. b) Un objeto no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de ese conjunto, es decir, no es aceptado que pueda suceder a ∈ a. 1.3. Formas de expresar los conjuntos: Los conjuntos pueden ser expresadosde las siguientes formas: 1.3.1. Por extensión: Cuando se nombran todos y cada uno de sus elementos. Ejemplos 1.1.

C = {−3, −2, −1, 0,1, 2,3, 4,5}

B = {0,1, 2,3, 4,5}

A = {a, e, i, o, u}

D = {−4, −2, 0,, 2, 4, 6}

E = {Venezuela, Colombia, Ecuador , Bolivia, Perú} .

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1.3.2. Por comprensión: Cuando se indica unapropiedad que caracteriza a sus elementos. Ejemplos 1.2.

A = {Las vocales} C = { x ∈ Z / − 3 ≤ x ≤ 5} B = { x ∈ ℕ / 0 ≤ x ≤ 5}

D = { x ∈ ℤ / − 4 ≤ x ≤ 6 ∧ x es un múltiplo 2}
E = { Paises libertados por Simón Bolívar} .

Como podemos observar en los ejemplos 1.1, se nombran los todos elementos de cada conjunto, mientras que en los ejemplos 1.2 se indicó la característica común a los elementosde cada conjunto.
1.4. Ejercicios propuestos. Exprese los siguientes conjuntos por comprensión: 1) A = {−5, −1, −2, −4, −3, 0, 4,1,3, 2}

4) D = {3, 6,9,12,15,18, 21}

3) C = {2, 4, 6,8,10,12}

2) B = {−1, 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}

5) E = {4,8,12,16, 20, 24, 28} Exprese los siguientes conjuntos por extensión: 6) A = { x ∈ Z / − 8 ≤ x ≤ −3} 7) B = { x ∈ Z / − 2 < x < 12} 8) C = { x / x espar ∧ 9 < x ≤ 20}

10) E = { x ∈ ℕ / 3 < x < 18}

9) D = { x / x es múltiplo de 3 ∧ 6 ≤ x < 31}

Los conjuntos pueden ser vinculados entre sí mediante relaciones, las cuales pueden generar otros conjuntos. Consideramos en primer lugar una relación entre conjuntos llamada inclusión.
1.5. Inclusión: Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A está incluido en el conjunto B si se verifica que cadaelemento de A pertenece a B. Esto se indica de la manera siguiente A ⊆ B , que se lee A es un subconjunto de B.

A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

Veamos esta relación representada en un diagrama sagital.

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A⊂B
A B

Ejemplo 1.3.

Si A = {0, 3, 4, 1} y B = {0,1, 2, 3, 4}, como cada elemento del conjunto A es elemento de B,...