Limites Matematica

Entre todos los conceptos que se presentan en
este texto, el de límite, sin dudas, es el más
importante y, quizás, también el más difícil.
En los años treinta y cuarenta del siglo XVIII,
fundamentalmente gracias a Euler, se elaboró,
sistematizó y clasificó la teoría de las funciones
elementales analíticas. Esta teoría de Euler no
pudo ser reconocida como satisfactoria, pues se
limitaba aenmascarar los pasos reales al límite.

El trabajo más serio que
reveló la posibilidad total del
cálculo diferencial algebraico y
que determinó su destino fue
el de Lagrange, en 1797: Teoría
de las funciones analíticas. Sin
embargo, siguió sin resolver el
concepto de límite.
Semejante dificultad existió
durante mucho tiempo hasta
que, a finales del siglo XIX, fue
creado el «aparatodelta
épsilon» de la teoría de límites.
A Cauchy se debe la idea de
basar el cálculo en una clara
definición de límite.
La definición de límite
usando (ε, δ) comprende en
pocas palabras el resultado de
los esfuerzos para establecer
este concepto sobre una base
matemática firme.

δ

ε

Delta y épsilon son la cuarta y
la quinta letra del alfabeto griego
respectivamente y se usan,siguiendo una larga tradición,
como números reales positivos
y muy pequeños.

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Joseph-Louis
Lagrange
(Italia, 1736–1813)

Normalmente se considera que Joseph-Louis Lagrange era
francés, pero la Enciclopedia Italiana se refiere a él como
un matemático Italiano, lo cual es muy razonable, pues
Lagrange nació en Turín y fue bautizado con el nombre de
Giuseppe Lodovico Lagrangia.
Unaespeculación insensata, llevada a cabo por su padre,
abandonó a Lagrange a sus propios recursos, a una edad
temprana. Pero este cambio de fortuna no le resultó una gran
calamidad, «pues de otro modo –dijo él– tal vez nunca
hubiera descubierto mi vocación».
Pasó sus primeros años en Turín, su activa madurez en
Berlín y sus últimos años en París, donde logró su mayor
fama. A los dieciséis añosde edad fue nombrado profesor de
matemáticas en la Escuela Real de Artillería de Turín, donde
el tímido muchacho, que no poseía recursos de oratoria y era
de muy pocas palabras, mantenía la atención de hombres
bastante mayores que él.
Lagrange estaba dispuesto a apreciar el trabajo sutil de los
demás, pero estaba igualmente capacitado para descubrir un
error. En una temprana memoria sobrelas matemáticas del
sonido señaló defectos, incluso en la obra de Newton. Otros
matemáticos le reconocían, sin envidia, primero como su
compañero y, más tarde, como el mayor matemático viviente.

GUSTAVO A. DUFFOUR

Aquel que le gusta la
práctica sin la teoría,
es como el marino que
navega barcos sin
timón ni brújula y
nunca sabe dónde debe
anclar.

3
ESTUDIO DE
LOS LÍMITESLeonardo
Da Vinci
(Italia,
1452-1519)

1–

ENTORNO
1.1. DEFINICIÓN
Dado a∈

se define entorno de centro a y radio δ (delta), al conjunto de los x∈

situados entre a – δ y a + δ, esto es, al conjunto

{x / x∈ , a – δ < x < a + δ}
Su representación gráfica en la recta es:

(

a −δ

|
a

)

a +δ

Entorno de a es la forma teórica de referirse a un conjunto de valores cercanosa

x = a. En la práctica se indicará que x → a.

En la mayoría de los casos significa que x ≠ a pues la función no necesariamente
existe en este valor, o sea que no se incluye a x = a. Se hace referencia entonces a un
entorno reducido de centro a y radio δ, esto es, al conjunto

{x / x∈ , a – δ < x < a + δ, x ≠ a}
Su representación gráfica en la recta es:

MATEMÁTICA DE SEXTO

(

a−δ

|
a

)

a+δ

67

1.2. NOTACIÓN
La notación más sencilla de un entorno se expresa con la letra E, primera letra de
esta palabra, a la que se agregan el centro del entorno a y el radio δ.
Entorno de a, de radio δ:

E(a, δ)

Cuando se quiere indicar que x = a no pertenece al entorno, o sea que se trata de un
entorno reducido, se agrega a esta notación un indicador *...