limites (teoria)

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DECANATO DE DOCENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
ASIGNATURA MATEMÁTICA I. (Código 0826101 )
LAPSO ACADÉMICO 2012-2

TEORÍA DE LA UNIDAD 2:
LÍMITES Y CONTINUIDAD

Elaborada por:
Profa. Jeraldyne Moncada.
Prof. Leonardo Pérez
Material didáctico en revisión

San Cristóbal, febrero 2013

3.1. LÍMITES
Enuna forma muy general se puede decir que el objetivo del estudio de límites
consiste en que dada una función f se debe indagar el comportamiento que tienen las
imágenes f ( x ) cuando la variable x se encuentra muy cerca del valor c .

3.1.1. CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

En la Figura 1.1 se observa que a medida
que x se encuentra mas cerca del valor c , las
imágenes f ( x ) se acercan alvalor L, entonces el
límite de f ( x ) , cuando x tiende a c , es L.
Simbólicamente se escribe: lim f ( x ) = L.
x →c

Es importante aclarar que

f ( c ) es el

comportamiento de la función f en el punto c,
mientras

que

lim f ( x ) = L
x →c

describe

el

comportamiento de la función f para valores de x
próximos al punto c.

3.1.2. DEFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES
♦Limite lateral de f ( x ) por la izquierda de c : lim f ( x ) = L
−
x →c

describe el

comportamiento de las imágenes de la función f para valores de x que tienden a c
por la izquierda.
Si x es menor que c y además x está muy cercano a c , entonces x es considerado
un valor que tienden a c por la izquierda.

2

♦

Limite lateral de f ( x ) por la derecha de c : lim f ( x ) = L
+
x→c

describe el

comportamiento de las imágenes de la función f para valores de x que tienden a c
por la derecha.
Si x es mayor que c y además x está muy cercano a c , entonces x es considerado
un valor que tienden a c por la derecha.

3.1.3. EXISTENCIA DEL LÍMITE

El límite de f cuando x tiende a c existe si y sólo si los límites laterales son
iguales, de manera simbólica, lim f ( x ) =L existe si y sólo si lim f ( x ) = lim f ( x ) .
−
+
x →c

x →c

x →c

3.1.4. PROCEDIMIENTO PARA ESTIMAR EL VALOR DE UN
LÍMITE

1. Procedimiento numérico: construyendo una tabla de valores donde se tomen
valores muy cercanos (por la derecha y por la izquierda) al punto al cual tiende el
límite y luego calcular la imagen de dichos valores.
2. Procedimiento gráfico: dibujando lagráfica.
3. Procedimiento analítico: utilizando el álgebra o el cálculo.

3.1.5. ALGUNOS COMPORTAMIENTOS TÍPICOS ASOCIADOS A
LA NO EXISTENCIA DE UN LÍMITE

1. f(x) tiende a números diferentes según x tiende a c por la derecha o por la izquierda.
En la Figura 1.2, se ilustra la situación planteada, por lo tanto se afirma que
lim f ( x ) no existe.
x →0

3

2. f(x) crece o decrece sin cotacuando x tiende a c, es decir, que las imágenes f(x) se
hacen cada vez más grandes, o más pequeñas, cuando x asume valores cercanos a c.
En la Figura 1.3, se ilustra la situación planteada, por lo tanto se afirma que
lim f ( x ) no existe.

x →−3

3. f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c. En la Figura 1.4, se ilustra la
situación planteada, por lo tanto se afirma que limf ( x ) no existe.
x →0

ACTIVIDAD Nº 1
Resolver los ejercicios del 1 al 8 (ver material de ejercicios propuestos)

4

3.1.6. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE O DEFINICIÓN

ε −δ

Sea f una función definida en un intervalo
abierto que contiene a p (salvo, posiblemente en c) y
L un número real. La afirmación
lim f ( x ) = L
x→ p

significa que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal quesi 0 < x − p < δ , entonces

f ( x)− L < ε

ACTIVIDAD Nº 2
Resolver los ejercicios del 13 al 17 (ver material de ejercicios propuestos)

3.1.7. CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES
A continuación se desarrollará el marco teórico que sustenta el cálculo analítico de
límites usando el álgebra.

3.1.7.1. Límites básicos
Sean b, c números reales:
1. El límite de una función constante es...