limites y continuidad

FUNCIONES LIMITES Y CONTINUIDAD

CONCEPTO DE FUNCIÓN
Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y serepresenta por Dom(f ).
Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variable independiente.
Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).
El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman elconjunto imagen (Im(f )) o recorrido de la función (f(D)).



Ejemplo: cálculo del dominio de una función
1) Hallar el campo de existencia de la función f definida por



-3, 0, 3 y 5. ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Hay algún número que se transforme en el 0?

REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN
La representación gráfica de una función permite visualizar de unmodo claro y preciso su comportamiento.
Una función f asigna a cada número x del conjunto origen, un número y = f(x) del conjunto imagen.
El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función.
Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formandoasí una tabla de valores de la función.
Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe elnombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par de números corresponde a un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.

Ejercicio: representación gráfica de funciones
Representar gráficamente la función definida por

OPERACIONES CON FUNCIONES
Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales devariable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismointervalo.

Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por


Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por


(La función f/gestá definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por




COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y se escribe g o f, a la funcióndefinida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].
La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».


Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta
Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:
1. Se calcula la imagen de x mediante la...