limites y continuidad

TEMA 1.- LÍMITES Y CONTINUIDAD
Límite de una función en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0. 
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
x
f(x)
1,9
3,611,99
3,9601
1,999
3,996001
...
...
↓
↓
2
4
x
f(x)
2,1
4.41
2,01
4,0401
2,001
4,004001
...
...
↓
↓
2
4
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.
El límite de una función en un punto si existe, es único.




En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.
El límite de lafunción es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
Ejemplo
Dada la función:

Hallar .


Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.






Propiedades de los límites
Límite de una constante

Límite de una suma

Límite deun producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Límite de una raíz

Límite de un logaritmo


Operaciones con infinito
Sumas con infinito
Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito

Productos con infinito
Infinito por un número

Infinito por infinito

Infinitopor cero

Cocientes con infinito y cero
Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero
Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Ceroelevado a un número

Un número elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:
La regla de los signos y que a-n = 1/a n
Cálculo de límites cuando x ∞
Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se sustituyen las x por ∞.
Límite defunciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.


Límite de la inversa de un polinomio en el infinito
Si P(x) es un polinomio, entonces:
.

Cálculo de límites cuando x -∞





No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos. 
Límite de la función exponencial
Si a> 0



Si 0 < a < 1








Límite de la función logarítmica
Si a > 0



Si 0 < a < 1







Límites de logaritmos





Indeterminaciones
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.
En estos casos hay que efectuaroperaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.
Tipos de indeterminación
1. Infinito partido por infinito

2. Infinito menos infinito

3. Cero partido por cero

4. Cero por infinito

5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7. Uno elevado a infinito

Comparación de infinitos

1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:


2. f(x) es uninfinito de orden inferior a g(x) si:


2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.
Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.
Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.
Las...