Limites Y Continuidad

CAPITULO 2 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES HISTORIA Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon y delta Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. CAUCHY expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haberexpresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908 QUÉ ES UNASUCESIÓN? Una sucesión es un conjunto de elementos (normalmente números) uno detrás de otro, en un cierto orden.

Finita o infinita Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita Ejemplos {1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (infinita) {20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita {1, 3, 5, 7,…} es la sucesión de los 4 primeros númerosimpares (infinita) {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} sucesión infinita donde vamos doblando cada término Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0 y 1. El conjunto sería sólo {0,1} Dado un numero positivo ε, tan pequeño como se quiera, hay que encontrar un termino de la sucesión, denominado N, tal que todos los términos de la sucesión esten a unadistancia de x menor que ε, es decir, |xn − x| < ε. En orden Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando. La regla Una sucesión sigue una regla que dice cómo calcular el valor de cada término. (Hace referencia a la formula) Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9,...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero laregla debería ser una fórmula! Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo calcular el: 10º término, 100º término, o n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos). Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término). Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9,...}? Probamos la regla: 2n+1 n 1 2 3 Término 35 7 Regla 2n + 1 = 2 * 1 +1 = 3 2n + 1 = 2 * 2 +1 = 5 2n + 1 = 2 * 3 +1 = 7

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como La regla para {3, 5, 7, 9,...} es: Ahora, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201 Notación Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
:

Donde n es la posición del término

Ejemplo: Síhablamos del “quinto termino” solo se escribe x5 ¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º? CLASES DE SUCESIONES SUCESIONES ARITMÉTICAS El ejemplo que acabamos de usar, {3, 5, 7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante. Ejemplos a n =1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... La sucesión tiene La regla es xn = 3n-2una diferencia de 3 unidades entre cada dos términos.

b n =3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... Esta sucesión tiene una diferencia de 5 unidades entre cada dos términos. La regla es xn = 5n-2 SUCESIONES GEOMÉTRICAS En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Ejemplos: a n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2entre cada dos términos. La regla es xn = 2n b n = 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... Esta sucesión La regla es xn = 3n tiene un factor 3 entre cada dos términos.

c n = 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... Esta sucesión tiene La regla es xn = 4 × 2-n un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.

NÚMEROS TRIANGULARES 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Esta sucesión se genera a partir de una pauta de...