limites y continuidad

LÍMITES Y CONTINUIDAD
DEFINICION:
Según el libro de Eduardo Espinoza define al límite como una función f : a c z r -> r (d f = a) y xq un punto de acumulación de a = d f , se dice que el número real l es el límite de f(x) cuando x se aproxima a x() (x —> x t)) al cual denotaremos por: lim f ( x ) = l , si y solo si para todo numero e > 0 (épsilon) existe otro número 8 (delta) positivo talque, para todo x e d r a 0 < | x ~ x {) | < 8 entonces | f(x) - l | < s

f{x) = L V ￡>0,3 $ >Q i Vx&Dr a 0 < f x - .j, j .V„
para todo x e D f y 0 < |jr-jc0 | < .>
Demostración
Sea e = min {b — L, L — a} como a < L < b = > b — L>0, L - a > 0
Entonces e< b - - L y e < L — a (por ser mínimo)
Entonces e < L —a => a < L - e < L + e < b ..-(1 )
Además lim f (x) = L , entonces para dicho s > 0,existe un 8 > 0 tal que,
x->x„ '
V x e D f A 0 < |-v — jc0 I < .>
Entonces |f(x) — L| < c => L —c < f(x) < L + e
Luego de (1) y (2) se tiene: a < L —e < f(x) < L + e < b,
=> a 0 y como |x | < c se cumple para
— de donde: | x | < —
2 2
original la cual no es válida, por lo tanto se cumple que x = 0.
￡! = ^ => 1 < Vi (absurdo) y esto es debido a la suposición
3*5.
TEOREMA UNICIDAD DELLÍMITE
El límite de una función si existe, es único, es decir:
Si lim f ( x ) = L! y lim f ( x ) = L2 entonces =L2
x —>u x—>a
Demostración
Por la proposición 1.8 es suficiente probar que:
1Lx - . 2 I < ￡ de donde Lx - L2 = 0 => Lx = . 2
En efecto para e > 0, consideremos lim f (jc) = Lx; para — > 0 , existe 0 tal que
x—>a' 2
£ £ 0 < \ x - a | 0,
2 x - >a' 2 existe 82 > 0 , tal que 0< \ x- a \ 0 para 0 < |x — a| < 8
Se tiene | Lx - L 2 | < e y esto implica Lx - L 2 = 0 de acuerdo a la proposición 1.8 por
lo tanto: Lx = L2.
TEOREMAS
Si f y g son dos funciones tales que f(x) < g(x), V x de un intervalo con x * a, y
lim f(x) = L , lim g(x) = M entonces L< Mes decir: lint f (x) < lim g(x)
x~>a x x~*a x—>a
Demostración
Demostraremos por el absurdo. Supongamos que L > Mentonces L - M > 0
Como lim f ( x ) - -L y lim g(x) = M , para r. =——— , existen 8! >0 y S 2 > 0 tales
.v > o' \ >i/ 2
f ( ) u
se tiene |f(x)| < k para algún k real positivo.
Demostración
Como lim f (x) - L por definición se tiene, dado c = 1 existe 8 > 0 tal que para todo
x~>a'
x, | f ( x ) -L| < c =l siempre que 0 0 y para x * a, un elemento del intervalo
Entonces: |f(x)| = |f(x) - L + L| <|f(x) - L| + |L| < 1 + |L|
Luego tomando k = 1 + |L| se cumple que: |f(x)| < k para x e
Propiedades sobre límites
Sean f y g dos funciones tales que:
lint f(x) = L , lint g(x) = M y k una constante, entonces:
a) lint k = k b) lim kf(x) = k lini f (x)
x —>a x—*a x~>a
c) lim( f ( x ) } g(x)) = lim j ( x )} lim g(x) = L }M
x *a ' -V—>i/ ' x->a
d) lim f(x).g(x) = ( lim f(x)).(lim g(x)) =L.M
x ~*u x—>a
e) lim—— = ------ ----- = — , si M * 0
jt m g(x) lim g(x) M
f( . l imf (x ) ,
f) l i m } ------- = — , si M*0, g(x)*0
,r->" g(x) lim g(x) M
g) lim( f (x))" = ( lim f (x) )" , n entero positivo.
jr tu x-+a
h) lim %Jf(x) - nflim f ( x ) = '^!L , V n par positivo.
x->a Y x —fa
i) lim | f ( x ) | = | lim f ( x ) | = | L
\
LIMITES LATERALES
Consideremos una funcion fdefinida en el intervalo ; el limite
de la funcion f(x) cuando x se aproxima hacia “a” por la izquierda es
el numero real L al cual denotaremos por lim f (x) = L si para todo e > 0,
x->a~
existe un 8 > 0 tal que si: a — 8 < x < a. Entonces | f(x) — L | < e.
Expresando esta definicion en forma simbólica.
hm f{x) -L ^> (V i>>0, 3 8 > 0 / s i a~6< x < a z.> [ f lx ) ~ L j
Al limite de la funcionf(x), cuando x se aproxima hacia a por la izquierda es el numero lx
que denotaremos por: fim , / ( x j t.
al limite de la funcion f(x), cuando x se aproxima hacia a por la derecha es el numero l2
que denotaremos por: im / ￡ * ) ~ /

LÍMITES AL INFINITO
Consideremos f: >-----> R, una funcion definida en el
intervalo , el limite de la función f(x) cuando x crece sin
limite es el numero L...