Limites

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
De forma intuitiva se puede definir el límite de una función en un punto como el valor al que se
aproxima la función cuando la variable independiente se acerca al punto. Esta ideaintuitiva se
formaliza en la siguiente definición:
Se dice que el límite de f cuando x tiende a xo es el número real L, y se representa
lim f ( x ) = L , si para cada ε > 0 que fijemos, se puede encontrar algún δ > 0 verificando que para
x → xo

todo x ∈ D que cumpla 0 < x − xo < δ se verifica

f (x ) − L < ε .

Notar que para que esta definición tenga sentido es necesario que existanpuntos cercanos a xo que
sean del dominio de f, aunque no se necesita que f esté definida en xo .

Propiedades de los límites
1. El límite de una función, si existe, es único.
2.
3.
4.

5.

lim (f + g)(x ) = lim f ( x) + lim g( x) , excepto si lim f (x ) = +∞ y lim g(x ) = -∞ o viceversa.

x → xo

x → xo

x → xo

x → xo

lim (f . g)( x ) = lim f ( x ) lim g( x ) , excepto silim f (x ) = 0 y lim g(x ) = ± ∞ o viceversa.

x → xo

x → xo

x → xo

lim f ( x)
⎛f ⎞
x → xo
lim ⎜ ⎟ ( x ) =
lim g( x)
x → xo ⎝ g ⎠

si

x → xo

lim g(x ) ≠ 0 , excepto si:

o

x → xo

g( x )

lim f (x )

x → xo

= ( lim f (x))

lim g( x )
x → xo

x → xo

lim f (x ) = ±∞ y lim g(x ) = 0

x → xo

Si

x → xo

f (x)

es

una

función

x → xo

x →xo

lim f ( x) = lim g(x) = 0

x → xo

7.

x → xo

lim (t. f )( x ) = t lim f ( x ) , siendo t un número real cualquiera.

x → xo

x → xo

6.

x → xo

lim f (x ) = lim g(x ) = ±∞

x → xo

x → xo

, excepto si:
o

acotada

x → xo

lim f ( x ) = 1 y lim g(x ) =

x → xo

en

un

o

lim f (x ) = lim g( x) = 0

x → xo

entorno

x → xo

de

xo

±∞

y lim g(x ) = 0 ,
x → xo

entonces

lim (f .g)( x ) = 0

x → xo

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

Ejemplo 11: Calcular los siguientes límites:

(

)

a) lim x 2 + e x =lim x 2 + lim e x = 02 + e0 = 0 + 1 = 1
x →0

x →0

x →0

b) lim 5x ln x = 5 lim x. lim ln x = 5.1.ln1 = 5.0 = 0
x →1

x →1

x →1

lim x 3 + 2
x 3 + 2 x →3
29
=
=
x →3 x − 1
lim x − 1
2

c) lim

x →3

−

lim( 2
d) x →0 x − 1)
1

e) lim

x3 + 3

x →+∞

f) lim xsen
x →0

2
3

(

= lim(x 2 − 1)
x →0

1

=

lim ( x 3 + 3)

x →+∞

=

)

−2
3

−

= (−1)

2
3

−

= ((−1)2 )

1
3

=1

1
=0
+∞

1
= 0 , ya que, lim x = 0 y la función seno es una función acotada.
x →0
x

En los casos en los que la aplicación directa de estas propiedades no permite calcular el límite (ver
las excepciones que aparecen en las propiedades de los límites), se dice que hay una
indeterminación y es necesario calcular el límite deotra manera.
Utilizando notación simbólica las indeterminaciones son:
+∞ − ∞, 0.( ± ∞),

0 ±∞
,
, 00 , ( ± ∞)0 , 1±∞
0 ±∞

Ejemplo 12: Calcular los siguientes límites:
a) lim

x 3 − 27

x →3

x2 − 9

0
. Esta indeterminación se resuelve factorizando los polinomios con objeto de simplificar el factor x – 3
0

=

común al numerador y al denominador, ya que x = 3 anula aambos:
lim

x 3 − 27

x →3

b) lim

x →2

x −2

1− x −1

=

2

x −9

(x − 3)(x 2 + 3x + 9)
x 2 + 3x + 9 27 9
= lim
=
=
x →3
x →3
x +3
(x − 3)(x + 3)
6
2

= lim

0
. Esta indeterminación se resuelve multiplicando numerador y denominador por el conjugado del
0

denominador, es decir, por 1 + x − 1 :
x −2

lim

1− x −1

x →2

= lim

x →2

c) lim

x...