Limites

Límites

Problemas básicos de límites

José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx
c 2007-2008

Contenido

1. Límites

2

2. Límites con − δ

4

3. Límites con simple evaluación

12

4. Límites con una diferencia de cuadrados o factorización

13

5. Límites obtenidos multiplicando por el conjugado

17

1

Límites

Los límites de funciones son una de las partesmás complicadas del análisis de funciones. En este reporte presentamos de manera simple algunos de los ejemplos más sencillos para el cálculo de límites.
El límite de una función se denota como l´ f (x) = b. La idea general de límite es saber adónde se
ım
x→c

aproxima la función f (x) cuando x se aproxima a c. Si la función se aproxima a un número real b único,
entonces decimos que el límiteexiste, en otro caso decimos que no existe.
En el siguiente ejemplo observamos algunos de los casos más sencillos sobre límites.
Sea la función f (x) definida de la siguiente manera:







f (x) =








x2 − 2, si x ≤ 2
3
, si 2 < x < 4
x−5
3
, si 4 < x < ∞
x−5
5, si x = 6

Es decir, la función no esta definida en x = 4, la gráfica de esta función semuestra a continuación.

1. Límites

3

6
5
4
3

4
2
1

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

1
2

1

2

3

5

3
4
5

Punto 1 En el punto x = −2 de la gráfica de la función, observamos que si nos aproximamos al −2 por
abajo (por la izquierda), la función se acerca a 2. Pero si nos aproximamos a −2 por arriba (por la
derecha) la función se aproxima a−0,4. Por lo tanto l´ f (x) no existe.
ım
x→−2

Punto 2 En el punto x = 0 de la gráfica de la función, observamos que si nos aproximamos al 0 por abajo
(por la izquierda), la función se acerca a −0,6. Si nos aproximamos a 0 por arriba (por la derecha)
la función se aproxima también a −0,6. Por lo tanto l´ f (x) = 0,6.
ım
x→−2

Punto 3 En el punto 3, x = 4 aunque la función no esta definida,si nos acercamos a 4 por abajo (por la
izquierda), la función se acerca a -3, si nos acercamos a x = 4 por arriba (por la derecha), la función
también se acerca a y = −3. Entonces el límite existe y l´ f (x) = −3.
ım
x→4

Punto 4 En el punto 4, x = 5 si nos acercamos a 4 por abajo (por la izquierda), la función se va a −∞, si
nos acercamos a x = 5 por arriba (por la derecha), la función vaa ∞. Entonces el límite no existe.
Punto 5 En el punto 5, x = 6 aunque la función esta definida y vale 5. Si nos acercamos a 6 por abajo (por
la izquierda), la función se va a 3, si nos acercamos a x = 6 por arriba (por la derecha), la función
se acerca a 3. Entonces l´ f (x) = 3.
ım
x→6

2

Límites con − δ

Ejercicio 1 Demostrar por − δ que
l´ x = 5.
ım

x→5

Parte 1 Truco paraencontrar δ:
Paso 1 Queremos que |f (x) − L| < , cuando |x − c| = |x − 5| < δ. En este caso |f (x) − L| =
|x − 5| < δ, entonces si δ = , obtenemos que |f (x) − L| < .
Paso 2 Esto puede apreciarse mejor en la figura 1.
Parte 2 Demostración:
Paso 1 Dado > 0, debemos encontrar δ, tal que si
0 < |x − c| < δ, entonces |f (x) − L| < .
Paso 2 De la parte 1, dado > 0 y δ = , como |x − c| = |x − 5| <δ es cierto, entonces si δ = ,
también es cierto que |x − 5| = |f (x) − L| < .

2. Límites con − δ

5

∆
L Ε

Ε

6
L5

L Ε

4
3
2
1
1

2

3

4

5
c

c ∆
Figura 2.1: f (x) = x, c = 5, L = 5.

6

c ∆

2. Límites con − δ

6

Ejercicio 2 Demostrar por − δ que
l´ 5x = 5.
ım

x→1

Parte 1 Truco para encontrar δ:
Paso 1 Queremos que |f (x) − L| < .Sustituyendo y desarrollando |f (x) − L| = |5x − 5| =
5|x − 1| < , por otra parte tenemos que |x − 1| < δ, por lo tanto lo primero será cierto si
δ= .
5
Paso 2 Esto puede apreciarse en la figura 2.
Parte 2 Demostración:
Paso 1 Dado > 0, debemos encontrar δ, tal que si
0 < |x − c| < δ, entonces |f (x) − L| < .
Paso 2 De la parte 1, dado > 0 y δ =

, tenemos |x − c| = |x − 1| < δ = ,...