Limites

UNIVERSIDAD DISTRITAL
CÁLCULO DIFERENCIAL

TALLER 5: LIMITES




INTRODUCCIÓN

En la siguiente guia, encontrará una serie de ejercicios que le permiten usar los conceptos y propiedades de los límites en una variable real, con el propósito de afianzar los conceptos de límites laterales, límites en un punto y límites al infinito, fundamental para los conceptos que se trabajan entalleres y asignaturas posteriores.


OBJETIVOS
• Utilizar el concepto e interpretación geométrica de límite lateral.
• Emplear el concepto e interpretación geométrica de límite en un punto específico
• Emplear el concepto e interpretación geométrica de límite al infinito.
METODOLOGÍA
En esta guía los estudiantes:
• Leen los conceptos, estudian los ejemplos y resuelven los ejerciciosplanteados.
• Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.
• Plantean sus inquietudes al tutor a través de Chats, correo electrónico, clases virtuales.
• Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.
LOGROS
El estudiante estará en capacidad de:

1. Dada una función real, determinar si el límite en un punto determinado existe o no; justificando perfectamente surespuesta a partir de la interpretación geométrica o mediante un análisis cuantitativo.
2. Determinar el comportamiento asintótico de algunas funciones, sólo cuando sea posible, a partir de los resultados obtenidos al estudiar límites al infinito.
3. Para ciertas funciones, definidas a través de un(os) parámetro(s), encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre dichos parámetros para que ellímite exista en puntos específicos.
CONCEPTOS BÁSICOS
Definición informal de límite

Sea f(x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de x se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a b es igual a L y escribimos:
EJEMPLO

Tracemos las gráficas de las funciones:Si factorizamos en el numerador, obtenemos:
Entonces:
, para
De lo anterior, observamos que las tres funciones f, g, h son iguales para cualquier valor de x distinto de 1. Además,
De manera que el límite no depende del valor de la función en = 1.
La función es la única de las tres en que ya que:

LÍMITES LATERALES

se llama límitelateral por la derecha.
se llama límite lateral por la izquierda
TEOREMA

Sea f una función, sean b y L números reales, entonces:

si y solamente si: =
EJEMPLO Sea















Hallar

Solución:

(Acercamiento por la izquierda)
(Acercamiento por la derecha)
Entonces:
PROPIEDADES DE LÍMITES

Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y gfunciones tales que:
Entonces:
1. 2.

3. 4.

5. 6. ,

7. 8. (k es constante)

9. 10.

11.
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS

La gráfica de una función polinómica ( o polinomio) tiene un trazo continuo, por lo cual podemos afirmar:
Sea f un polinomio, entonces para cualquier número realc se tiene que: ,es decir, que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente calculando su imagen.

Ejemplo:

Sea



LÍMITES DE OTRO TIPO DE FUNCIONES

Para calcular límites de otras funciones debemos proceder inicialmente como si se tratara de polinomios, es decir, se sustituye el valor de x por el número al cual se aproxima. Si el resultado es un número real,entonces esa será la solución, si en cambio el resultado es de la forma (indeterminación) entonces debemos realizar procedimientos algebraicos para suprimir la indeterminación.

Ejemplo:

al sustituir x por -1 podemos observar que tiene forma

Si factorizamos el numerador tenemos: al cancelar el factor común obtenemos:

Otro ejemplo:

si sustituimos se tiene la forma...