limites

LIMITES.
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
El conceptose puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
Límite de una función
La noción delímite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 porla izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).
x se acerca al 1 por la izquierda  x se acerca al 1 por la derecha
x
0,9
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,1
f ( x )
2,71
2,9701
2,997001
¿?
3,003001
3,0301
3,31
f (x) se acerca al 3  f (x) se acerca al 3

La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dichagráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función  menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x seaproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos 
Definición de límite de una función
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existeuna  tal que
si  entonces 
Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia  puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.
En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definidaen a para que exista.
Ejemplos 1.
1) Utilicemos la definición para demostrar que 
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.
Se debe demostrar que para cualquier  existe una tal que
si  entonces  (A)
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 
Entonces, si tomamos  se cumple la proposición (A). Estodemuestra que 
Tomando ,  luego, para esos valores de  y los números x que pertenecen al intervalo abierto verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:

entonces

Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.
2) Demostrar usando la definición de límite que 
Como la función está definida encualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,
si  entonces  (B)
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 
Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego,  entonces,  por lo tanto,  De la proposición (B) se obtiene que, si  entonces  Si tomamos  se cumple la...