limites

3.1.4. Límites Laterales, al Infinito e Infinitos.
Límites Laterales
Considere la función f, definida por:
y cuya gráfica aparece en la figura 8.5.


fig. 8.5.



Se desea conocer el valor de los siguientes límites:
a.
b.
c.
d.
e.
El problema ahora se reduce a "sustituir" apropiadamente f(x) en cada uno de los literales anteriores.
a. Nótese que en las "cercanías" dela función f(x) es: . Asi que:

b. Igualmente, en las "cercanías" de la función f(x) es: . De esta forma:

c. También en las "cercanías" de la función f(x) es: . Por lo tanto,

Ahora, nótese en la fig. 8.5. que para los valores de x anteriores al viene dada por: . Mientras que para los valores de x próximos a 1 pero posteriores viene dado por:
¿Cuál es entonces la f(x)apropiada para sustituir en la parte d.? En situaciones como esta, es útil y natural introducir los llamados Límites laterales.
El símbolo: significa que: x se aproxima a 1 por la izquierda (por valores menores que 1).
El símbolo: significa que: x se aproxima a 1 por la derecha (por valores mayores que 1).
En el caso particular que interesa, se tiene:
(1)
(2)
Igualmente, en el caso e.ocurre algo similar en las cercanías del punto x = 3. Es decir,
si y si .
Asi que:
(3)
(4)
En general, denotamos por:
para expresar que: x se aproxima al valor a por la derecha.
Esto es por valores de x > a.
para expresar que: x se aproxima al valor a por la izquierda.
Esto es por valores de x < a.
Lo anterior, nos permite dar una definición informal de los límiteslaterales.
Definiciones.
i.Límite por la derecha.
Decir que , significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de a, entonces f(x) está cerca de L.

ii. Límite por la izquierda.
Decir que , significa que cuando x está cerca, pero a la izquierda de a, entonces f(x) está cerca de L.
Observación:
Decir que es diferente a decir que .
El siguiente teorema establece la relaciónque existe entre el límite de una función en un punto y los límites laterales.

TEOREMA.

Observaciones:
i.Otra forma equivalente de enunciar el teorema es la siguiente: no existe, si y solo si, no existe alguno de los límites laterales, o, si existen, son diferentes.
ii. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no del límite de una función, en particularpara la función inicial de estudio en esta sección, se deduce de (1) y (2) que: existe y , puesto que . De igual forma, de (3) y (4) se deduce que: no existe, ya que
Límites al Infinito
En lo que sigue vamos a estudiar los límites infinitos para diversas funciones.
Aquí consideraremos un problema diferente al considerado en capítulos anteriores. En ellos nos hemos preguntado qué pasa conf(x) cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aquí nos preguntaremos qué pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los límites al infinito.
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Ejemplo 7. Crecimiento ilimitado de x.
Sea , nos preguntamos:
a) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos crecer a xilimitadamente?
b) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente? (esto es, si tomamos valores negativos de x cada vez "más abajo")
Solución: La gráfica de la función indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a 2.
a) Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en la gráfica:

Tabla 4.4
Hacia

x 10100 1000 10000 100000
f(x) 3,125 2,091836 2,009018 2,0009 2,00009
Hacia 2
Con la tabla 4.4 comprobamos que a medida que los valores de x crecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.
La expresión "x crece sin cota" se simboliza con y se dice que x tiende a infinito. Toda la situación anterior se escribe simbólicamente como

b) Para comprobar la respuesta también construiremos...