limites

Límite

Antes de empezar, conviene recordar el concepto de "tender". Cuando decimos, por ejemplo, a qué valor tiende la función nos referimos a qué valor se acerca la función (cabe aclarar quehablamos de "acercarse", pero no de "llegar" a ese valor).

Definición intuitiva de límite: Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a unnúmero A por ambos lados, entonces decimos que "el límite de f(x) es L cuando x tiende a A"

Lim f(x)=L

x— A

Definición formal de límite: la función f(x) tiene como límite L en el punto deacumulación x=A cuando el valor absoluto (el módulo) de la diferencia entre los valores f(x) y L se puede hacer tan pequeño como se quiera con tal de considerar valores de x suficientemente próximos a A.Lim f(x)=L

x— A

... si para todo E 0, existe un § 0 tal que /f(x)-L/ E cuando /x-A/ §

Quizás te sirva verlo mejor en un ejemplo: hacemos la tabla de valores de la función f(x)= x^2+1.x ................f(x)= x^2+1

2,2..................5,84

2,1................ .5,41

2,01................5,04

2,001..............5,004

1,9..................4,61

1,99................4,961,999..............4,996

Los valores de x que están en verde son aquellos que se aproximan a 2 por la derecha, por valores mayores que 2. Los que están en rosa son los valores de x que seaproximan a 2 por la izquierda, por valores menores que 2.

Como podés ver en el gráfico, a medida que los valores de x se aproximan cada vez más a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, losvalores que determina la función se aproximan cada vez más al númerp 5. Esto se expresa diciendo que la función f(x)= x^2+1 tiene límite 5 en el punto x=2 o cuando x tiende a 2, que se indicasimbólicamente:

Lim f(x^2+1)=5

x— 2

Eso se lee así: límite de (x^2+1) para x tendiendo a 2 es igual a 5. También se dice que dicha función tiende a 5 cuando x tiende a 2, que se indica así: (x^2+1)— 5...