Limites

1.2.4 Límites unilaterales: funciones racionales, funciones definidas
por partes y funciones con valor absoluto.


Límites laterales


1) Límite por la izquierda

Definición


Escribimos:


Se lee:

“el límite izquierdo de cuando x tiende a [o el límite
de cuando x se acerca a por la izquierda] es igual a L,
si podemos aproximar los valoresde a L tanto como se quiera, seleccionando una x lo más próximo a pero menor que ella”





2) Límite por la derecha

Definición


Escribimos:


Se lee:

“el límite derecho de cuando x tiende a [o el límite
de cuando x se acerca a por la derecha] es igual a L,
si podemos aproximar los valores de a L tanto como se quiera, seleccionando una x lo más próximoa pero mayor que ella”




















3) Relación entre límites laterales y la definición de límite





Teorema


Sea un intervalo que contiene a y que una función está
definida en dicho intervalo excepto posiblemente en .
Entonces:







En otras palabras, este teorema nos dice que:


“El límite decuando x tiende a
existe, si y sólo si, ambos límites unilaterales
existen y son iguales”



1.2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales.


Límites infinitos

Se entiende por límites infinitos de una función, cuando el valor de la función crece o decrece sin "limite" a medida que la variable se aproxima a un valor dado.
Son límites infinitos cualquiera de las siguientes formas:Para el caso particular de estudio de las asíntotas verticales, se hace referencia a los límites de la primera forma.
Considere por ejemplo, la función cuya gráfica aparece en la siguiente figura:



                                                                            
Nótese que cuando  por la derecha (valores de x muy cercanos 3), el numerador de la función “tiende a”2, y el denominador se aproxima infinitamente
a 0, por lo que el cociente de la función “tiende a”  . Es decir,

En otras palabras, esta expresión nos indica que cuando x “tiende a 3” por la derecha, la función crece sin límite o se hace infinitamente positiva.
De igualo manera, cuando x “tiende a 3” por la izquierda, se tiene,

En otras palabras, esta expresión nos indica que cuando x“tiende a 3” por la izquierda, la función crece sin límite o se hace infinita negativa.
Concluyendo, una función se hace infinitamente positiva o negativa para un cierto valor de la variable independiente, cuando la sustitución de dicho valor en la función conduce a la forma algebraica .
Como puede verse, un tipo de funciones que pueden dar lugar a esta forma algebraica, son las funciones racionalesen las que el polinomio del denominador se anula para ciertos valores de la variable independiente.
Asíntotas
Geométricamente, con este nombre se conoce a toda recta hacia la cual se aproximan infinitamente los puntos de la gráfica de una función sin posibilidad alguna de que dichos puntos hagan contacto con los puntos de la recta.
Tal acercamiento se conoce también con el nombre de“acercamiento asintótico”, y puede darse cuando la variable independiente “tiende” al infinito o cuando “tiende” a un cierto valor a.
En general, se tienen varios tipos de asíntotas; a saber, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, y dependiendo de la función, esta puede tener más de tipo de asíntota.
Ecuación de las rectas asintóticas.
Asíntota vertical:
Asíntota horizontal:
Asíntota oblicua;en el caso de las funciones racionales:
{Cuando el grado del polinomio del numerador es mayor en
uno al del grado del denominador}



Asíntotas verticales
Existen funciones que tienen solamente una asíntota vertical, por ejemplo,

Puesto que el denominador se anula para x=3, entonces la asíntota vertical tiene como ecuación precisamente a x=3, como se puede observar en la...