Limites
Páginas: 18 (4278 palabras)
Publicado: 13 de mayo de 2012
Cálculo diferencial en una variable Límites Infinitos
Herbert Dueñas Ruiz
Universidad Nacional de Colombia
Marzo de 2011
HADR (UN)
Marzo de 2011
1 / 19
Límites en el infinito
Contenido
1
Límites en el infinito Popiedades
2
Límites al infinito
3
Asíntotas
HADR (UN)
Marzo de 2011
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Límites en el infinito
Límites en el infinito
Consideremos lafunción f (x) =
1 . Queremos analizar el comportamiento de f x cuando x se hace cada vez más grande.
HADR (UN)
Marzo de 2011
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Límites en el infinito
Límites en el infinito
Consideremos la función f (x) =
1 . Queremos analizar el comportamiento de f x cuando x se hace cada vez más grande.
En este caso escribiremos:
x→∞
l´m ı
1 = 0. x
HADR (UN)
Marzo de 20113 / 19
Límites en el infinito
Límites en el infinito
Consideremos la función f (x) =
1 . Queremos analizar el comportamiento de f x cuando x se hace cada vez más grande.
En este caso escribiremos:
x→∞
l´m ı
1 = 0. x
Encontremos una definición para
x→∞
l´m f (x) = b, ı
HADR (UN)
Marzo de 2011
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Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma(b − ε, b + ε) ,
HADR (UN)
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Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces
HADR (UN)
Marzo de 2011
4 / 19
Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces f (x) ∈ (b − ε, b + ε) .
HADR (UN)
Marzo de 2011
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Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces f (x) ∈ (b − ε, b + ε) .
HADR (UN)
Marzo de 2011
4 / 19
Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces f (x) ∈ (b − ε, b + ε) .
Definición Si f es una función real, diremos que l´m x→∞ f (x)= b (el límite cuando x tiende a ı infinito de f (x) es b) si:
HADR (UN)
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4 / 19
Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces f (x) ∈ (b − ε, b + ε) .
Definición Si f es una función real, diremos que l´m x→∞ f (x) = b (el límite cuando x tiende a ı infinito de f (x) es b) si: Para todo ε > 0, existe N> 0, tal que si x > N, entonces | f (x) − b| < ε.
HADR (UN)
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Límites en el infinito
Demostrar que l´m x→∞ ı
1 = 0. x
HADR (UN)
Marzo de 2011
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Límites en el infinito
1 = 0. x 1 − 0 < ε que es lo Debemos encontrar un N adecuado. Para lograrlo, tomemos x que debemos probar. 1 −0 1 >0 ε
(1)
Como x > 0 implica que |x| = x
HADR (UN)Marzo de 2011
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Límites en el infinito
Demostración. Dado ε > 0, sea N =
1 1 , tal que si x > ,entonces: ε ε x> 1 >0 ε 1 , ε
(1)
Como x > 0 implica que |x| = x, utilizando (1) tenemos que |x| >
HADR (UN)
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6 / 19
Límites en el infinito
Demostración. Dado ε > 0, sea N =
1 1 , tal que si x > ,entonces: ε ε x> 1 >0 ε 1 , de donde: ε
(1)
Como x >0 implica que |x| = x, utilizando (1) tenemos que |x| >
ε>
1 |x|
HADR (UN)
Marzo de 2011
6 / 19
Límites en el infinito
Demostración. Dado ε > 0, sea N =
1 1 , tal que si x > ,entonces: ε ε x> 1 >0 ε 1 , de donde: ε
(1)
Como x > 0 implica que |x| = x, utilizando (1) tenemos que |x| >
ε>
Es decir:
1 |x|
1 < ε. x
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6 / 19 Límites en el infinito
Demostración. Dado ε > 0, sea N =
1 1 , tal que si x > ,entonces: ε ε x> 1 >0 ε 1 , de donde: ε
(1)
Como x > 0 implica que |x| = x, utilizando (1) tenemos que |x| >
ε>
Es decir:
1 |x|
1 < ε. x
Así concluímos la demostración.
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1
Demostrar:
1
2 3 4
1 = 0. x2 1 l´m x→∞ a = 0, si a >...
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Límites en el infinito Popiedades
2
Límites al infinito
3
Asíntotas
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Límites en el infinito
Límites en el infinito
Consideremos lafunción f (x) =
1 . Queremos analizar el comportamiento de f x cuando x se hace cada vez más grande.
HADR (UN)
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3 / 19
Límites en el infinito
Límites en el infinito
Consideremos la función f (x) =
1 . Queremos analizar el comportamiento de f x cuando x se hace cada vez más grande.
En este caso escribiremos:
x→∞
l´m ı
1 = 0. x
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Límites en el infinito
Límites en el infinito
Consideremos la función f (x) =
1 . Queremos analizar el comportamiento de f x cuando x se hace cada vez más grande.
En este caso escribiremos:
x→∞
l´m ı
1 = 0. x
Encontremos una definición para
x→∞
l´m f (x) = b, ı
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3 / 19
Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma(b − ε, b + ε) ,
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4 / 19
Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces
HADR (UN)
Marzo de 2011
4 / 19
Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces f (x) ∈ (b − ε, b + ε) .
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Marzo de 2011
4 /19
Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces f (x) ∈ (b − ε, b + ε) .
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Límites en el infinito
Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces f (x) ∈ (b − ε, b + ε) .
Definición Si f es una función real, diremos que l´m x→∞ f (x)= b (el límite cuando x tiende a ı infinito de f (x) es b) si:
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Para todo intervalo de la forma (b − ε, b + ε) ,existe un N > 0, tal que si x > N, entonces f (x) ∈ (b − ε, b + ε) .
Definición Si f es una función real, diremos que l´m x→∞ f (x) = b (el límite cuando x tiende a ı infinito de f (x) es b) si: Para todo ε > 0, existe N> 0, tal que si x > N, entonces | f (x) − b| < ε.
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Demostrar que l´m x→∞ ı
1 = 0. x
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Límites en el infinito
1 = 0. x 1 − 0 < ε que es lo Debemos encontrar un N adecuado. Para lograrlo, tomemos x que debemos probar. 1 −0 1 >0 ε
(1)
Como x > 0 implica que |x| = x
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Límites en el infinito
Demostración. Dado ε > 0, sea N =
1 1 , tal que si x > ,entonces: ε ε x> 1 >0 ε 1 , ε
(1)
Como x > 0 implica que |x| = x, utilizando (1) tenemos que |x| >
HADR (UN)
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Límites en el infinito
Demostración. Dado ε > 0, sea N =
1 1 , tal que si x > ,entonces: ε ε x> 1 >0 ε 1 , de donde: ε
(1)
Como x >0 implica que |x| = x, utilizando (1) tenemos que |x| >
ε>
1 |x|
HADR (UN)
Marzo de 2011
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Límites en el infinito
Demostración. Dado ε > 0, sea N =
1 1 , tal que si x > ,entonces: ε ε x> 1 >0 ε 1 , de donde: ε
(1)
Como x > 0 implica que |x| = x, utilizando (1) tenemos que |x| >
ε>
Es decir:
1 |x|
1 < ε. x
HADR (UN)
Marzo de 2011
6 / 19 Límites en el infinito
Demostración. Dado ε > 0, sea N =
1 1 , tal que si x > ,entonces: ε ε x> 1 >0 ε 1 , de donde: ε
(1)
Como x > 0 implica que |x| = x, utilizando (1) tenemos que |x| >
ε>
Es decir:
1 |x|
1 < ε. x
Así concluímos la demostración.
HADR (UN)
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1
Demostrar:
1
2 3 4
1 = 0. x2 1 l´m x→∞ a = 0, si a >...
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