Limites

LÍMITES
 
INTRODUCCIÓN
 
Analicemos la posible gráfica que generaría la función:
[pic]
Para cualquier punto de x diferente de 1, se pueden utilizar varios procedimientos como el de asignar valores arbitrarios a x, para hallar los valores de f(x), pero en el punto x = 1, se hace un poco difícil el análisis de la gráfica, entonces para observar el real comportamiento de la gráfica de f(x),cerca del punto x = 1, consideramos dos grupos de valores de x.
Uno de los grupos sería el conjunto de números que se aproximen a uno por la izquierda y el otro, el conjunto de números que se aproximen por la derecha.
Para lo cual se crea una tabla de valores para los dos conjuntos de números:
 
[pic]
 
Al localizar los puntos correspondientes se observa que la gráfica de f, es una parábolacon un hueco en el punto (1, 2). Se puede concluir que aunque x no puede ser igual a 1 nos podemos acercar cuanto queramos a 1, y como resultado de este acercamiento, f(x)se aproxima cada vez más a 2. Utilizando la notación de límites se dice entonces que el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 2, y se denota como:
[pic]
Otra forma de resolver el límite:
[pic]
es desarrollando el cociente:[pic]
Que es la forma algebraica y más práctica de resolver esta clase de límites.
 
[pic]
[pic]
[pic]
Desarrollando el ejercicio mediante una tabla de valores se llega a la misma respuesta.
 
[pic][pic]
 
DEFINICIÓN DE LÍMITE
 
El límite de una función, se puede expresar mediante la norma de que si f(x), se aproxima a un único número L, cuando x se aproxima a c por ambos lados, decimosque el límitef(x) cuando x tiende a c es L, y se denota por la expresión:

                           [pic]

[pic]Propiedades de los límites
 
Es bueno recordar que el límite de una función f(x) cuando x tiende a c, no depende del valor de   f en el punto x = c. Pero si sucede que el límite coincide con   f(c), éste se puede evaluar por el método de sustitución directa, es decir:                                                                [pic]
Si se tiene un número real c y f (x) = g (x) con la condición de que x sea diferente de c, en un intervalo abierto que contenga a c. Si existe el límite de g(x) cuando x tiende a c, entonces el límite de f(x), también existe y será igual a:
                                                              [pic]
 
[pic]
 
 
[pic]
[pic]

[pic]
 [pic]
 
Se ha visto anteriormente la forma algebraica de resolver límites de la cual se destacaba la manera sencilla de resolverlos, pues estos conceptos se pueden normalizar aplicando los siguientes pasos:
 
[pic]Si el límite f(x) cuando x tiende a c, no es posible evaluarlo por el método de sustitución        directa, entonces se intenta hallar una función g,  que coincida con la función f,  para          todo x = c, es decir, elegir g de tal forma que su límite se pueda calcular por sustitución        directa. ·
 
[pic]Aplicar la propiedad
       [pic]
 
LÍMITES DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRIGONOMÉTRICAS
 
Para desarrollar algunos límites algebraicos es necesario tener en cuenta ciertos límites básicos que están sujetos a la condición. Si b y c son números reales y n unentero positivo si c = 0, entonces:
[pic]
 
[pic]Propiedades de las operaciones básicas entre límites
 
Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g funciones que se pueden resolver cuando x tiende a c, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
 
[pic]
 
[pic]
 
[pic]
 
[pic]
 
[pic]
 
[pic]
 
[pic]Límites con radicales
 
[pic]
 
 
[pic]
[pic]
 
 [pic]Límites de funciones trigonométricas
 
Igualmente para las funciones trigonométricas también se puede utilizar el cálculo por sustitución directa y si c es un número real, se tienen las propiedades para sus respectivos límites:
[pic]
 
[pic]Límites de funciones trigonométricas especiales
 
[pic]
 
[pic]
A medida que x se acerca a cero los valores de la función se aproximan...