limites

FACULTAD DE
INGENIERÍA

CÁLCULO I

Límite de Funciones Reales
2014 - I
Dr. Walter Clemente

Información básica
• Sílabo.
• (Guías de Practica )Material
proporcionado por la coordinación
• Aula Virtual

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Calculo I

Clemente Reyes Walter

•

Evaluaciones:
Participación en clase, talleres

•

Promedio final:
se considera los
tres mayores notas

Un examensustitutorio que (ES) que reemplazará en caso de ser mayor al (EP) ó ( EF)

P1 + P 2 + P3 + P 4
PP =
3
NOTAFINAL

EP + EF + PP
=
3

3
Calculo I

Clemente Reyes Walter

3

Acuerdos
• Puntualidad: Pasar lista al inicio
de clase.
• Salir antes del final de la sesión
se le retira de la lista.
• 30% de inasistencia
desaprueba el curso.
• No uso de celular.
• No Comidas y bebidas.
• SiMomento de preguntas.
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Calculo I

Clemente Reyes Walter

LIMITE DE FUNCION REAL

NOTA (Idea intuitiva de límite) el desarrollo de los límites procede en tres etapas
1)Se discuten los límites de una manera intuitiva.
2)Se discuten los métodos para calcular los límites.
3)Se presenta una discusión matemática precisa de límites.
(Los límites se usan para describir cómo se comporta unafunción, conforme la
variable independiente se mueve hacia un cierto valor )

sen x
f ( x) =
x

cuando

los valores de f(x) tiende a 1 es decir

x→0
sen x
lim
=1
x→0
x
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Calculo I

Clemente ReyesWalter

Definición 1 .- Una vecindad es cualquier intervalo abierto (a,b) que contiene a P
como su punto medio.

Definición 2 .-

Sea

f :V ⊂

→ una función real definidaen una vecindad o

entorno de V1 ( p ) que contiene a P. Sea L un número real.

El símbolo o igualdad:

lim f ( x) = L

x →p

ie ( f (x) tiene a L cuando x tiene a p)

Significa: que para toda vecindad V1(L) Existe otra vecindad V2(p) talque que

f ( x)∈V1 ( L)

siempre que

x ∈V2 ( p) con x ≠ p
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Calculo I

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y
y=f(x)

f(x)
L
V1(L)

0
CalculoI

p
V2(p)
Clemente Reyes Walter

x

x
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y
y=f(x)
L+

f(x)
L

L-

0
Calculo I

p-

p
Clemente Reyes Walter

x

p+

x
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Definición de límite mediante radio de la vecindad
Definición: Sea f : V ⊂ →

se dice que

lim f ( x) = L si y solo si

x →p

,
∀ε > 0 por pequeño que sea existe un ∃δ > 0 t.q , ∀x ∈ Df x ≠ p ⇒ f ( x) −L < ε
x− p < δ
Siempre queCálculo del radio δ
1) Inicialmente descomponemos | f(x) – L | en dos factores uno de los cuales deber ser
| x – P | es decir
| f (x) – L | = | x – P | | g (x) | con | g (x) |= k entonces
|f (x) – L | = | x – P | k ⇔

ε=δk ⇒δ =

ε
k

2) Para encontrar el numero k , se restringe los valores de x a un intervalo de la forma
(x – P , x + P ) considerando un δ1 auxiliar.
3) Finalmenteescogemos el δ = min { δ1 , δ2 }.
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Calculo I

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Observación:
en la comprobación de límite es necesario tener presente lo siguiente:
1. al considerar δ1 particular, se está considerando la vecindad
) = ( p - δ1, p + δ1 ) con

V ( p, δ1

0<
p ,≠ x | x – P | < δ , generalmente δ1 es un valor

pequeño, se puede tomar δ1 = 1, pero este valor puede ser inadecuado enciertos
casos por lo que se puede considerar otro muy pequeño.
2. Tener en cuenta las propiedades de desigualdad y valor absoluto:
Si 0 < | x – P |< δ entonces p - δ < x < p+ δ
Si a < u < b | u | = máx{ | a | , | b | }
.

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0
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Teorema (unidad de límite) : El límite de una función cuando existe es único.

f (x) = L

lim

x → p

f ( x ) = Aentonces

y lim

x → p

Propiedades:
consideramos f y g funciones reales y existen
entonces se tiene :

L = A

lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B
x→ p

x→ p

1. − lim K = K siendo K cons tan te
x→ p

2. − lim K f ( x ) = K
x→ p

3. − lim

(

lim f ( x )
x→ p

f ( x ) + g( x ) ) =

x→ p

4

lim (

5. − lim (
x→ p

6. −

lim
x→ p

lim f ( x ) + lim g( x ) =...