limites


CONCEPTOS DE CÁLCULO
LÍMITE
Concepto de límite de una función
Una aproximación al concepto de límite : Informalmente hablando se dice que el límite de una función es el valor al que tiende dicha función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Sea  f una función definida en algún intervalo abierto deldominio que contenga a P. El límite de f (x) cuando x tiende a P es L, y se escribe:
    de modo que:
Para cualquier ε> 0 lo suficientemente pequeño existe δ >0 tal que
0< entonces


Ejemplo:

-2
Propiedades de los límites
1- Si c es una constante,
2-
3- Si c es un número real cualquiera,
4-
5-
6- siempre que g(p)
7-
8-
9-
10-
Esta lista de propiedades no esexhaustiva, pero permite trabajar calculando límites sencillos.
Infinitésimos
Una función f es un infinitésimo para un elemento x del dominio que tiende a un valor determinado “a” si , también se puede expresar .Lo esencial es la variabilidad y tener por límite 0.
Ejemplo: x2 es infinitésimo en x=0 pues x2 tiende a 0 en x=0
senx es infinitésimo en x=0 porque tiende a 0 en x=0
1+x2 no esinfinitésimo porque tiende a 1 en x=0
sen(1+x) no es infinitésimo en x=0 y sí es infinitésimo en x=-1
La suma finita de infinitésimos es un infinitésimo.
Ejemplo:
El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.
Ejemplo:
Dos infinitésimos f y g son de igual orden cuando.
Dos infinitésimos son equivalentes si .
Ejemplo: senx y x son infinitésimos equivalentes cuando xtiende a 0, esto significa que

Los siguientes infinitésimos son equivalentes: sen2x y 2x, tg6x y 6x, ln(1+x) y x, ex -1 y x .
Principio de sustitución: si en una expresión de un límite se sustituye un factor o divisor (nunca elementos que estén sumando)por otro equivalente, el límite no varía.
Puede sustituirse un factor finito por su límite siempre que no sea nulo.
Puede sustituirse un factorinfinitésimo por otro equivalente.
Ejemplo:


Límites laterales
1-Existen funciones que no están definidas para ciertos números reales. Si por ejemplo, uno de los elementos para los que la función no está definida es “a”, el estudio del comportamiento de la misma en un intervalo suficientemente pequeño que contenga a “a”, puede realizarse a través del concepto de límite.
En estos casospuede suceder que el comportamiento de la función para valores menores que “a” no sea el mismo que para valores mayores que “a”, es decir, no da lo mismo acercarse a “a “ por la derecha que por la izquierda.

2- En el siguiente caso la función sí está definida para todos los elementos del dominio, pero se observa un “salto” en las imágenes. También el comportamiento de la función para valoresmenores que “a” no es el mismo que para valores mayores que “a”, es decir, no da lo mismo acercarse a “a “ por la derecha que por la izquierda.
3- Y existe una tercera posibilidad, cuando la función no está definida para un determinado número real, pero el comportamiento de la función para valores menores que “a” es el mismo que para valores mayores que “a”, es decir, da lo mismo acercarse a “a “por la derecha que por la izquierda.
La representación gráfica presenta un ejemplo de esta situación:

Para x=2 no existe imagen , pero si nos acercamos desde la izquierda de 2 o desde la derecha de 2, obtenemos el mismo resultado.


Por ello, cualquiera sea el comportamiento de la función en estudio, es útil considerar lo siguiente:
 a-Al límite de la función cuando tomamos sólo valoresinferiores a x = a, se le llama límite lateral por la izquierda y se designa por.
  b-Si la variable x sólo toma valores superiores a x = a, se le llama límite lateral por la derecha y se designa por.
Ejemplo: hallar el límite de las siguientes funciones:
a)
b)


c)
d) NO EXISTE



De esta conceptualización se concluye:
a) Una función tiene límite en un punto si sus límites...